Math173

已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的项数均为 $m$（$m>2$），且 $a_n, b_n \in\{1,2, \cdots, m\}$，$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_n,B_n$，并规定 $A_0=B_0=0$．对于 $k \in\{0,1,2, \cdots, m\}$，定义 $$ r_k=\max \left\{i \mid B_i \leqslant A_k, i \in\{0,1,2, \cdots, m\}\right\}, $$ 其中，$\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数．

1、若 $a_1=2$，$ a_2=1$，$a_3=3$，$b_1=1$，$b_2=3$，$b_3=3$，写出 $r_0, r_1, r_2, r_3$ 的值．

2、若 $a_1 \geqslant b_1$，且 $2 r_j \leqslant r_{j+1}+r_{j-1}$，$j=1,2, \cdots, m-1$，求 $r_n$．

3、证明：存在 $p, q, s, t \in\{0,1,2, \cdots, m\}$，满足 $p>q$，$s>t$，使得 $A_p+B_t=A_q+B_s$．

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设函数 $f(x)=x-x^{3} \mathrm{e}^{a x+b}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=-x+1$．

1、求 $a, b$ 的值．

2、设 $g(x)=f^{\prime}(x)$，求 $g(x)$ 的单调区间．

3、求 $f(x)$ 极值点的个数．

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已知椭圆 $E:~ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，$A, C$ 分别是 $E$ 的上、下顶点，$B, D$ 分别是 $E$ 的左、右顶点，$|A C|=4$．

1、求椭圆 $E$ 的方程．

2、设 $P$ 为第一象限内 $E$ 上的动点，直线 $P D$ 与直线 $B C$ 交于点 $M$，直线 $P A$ 与直线 $y=-2$ 交于点 $N$．求证：$M N\parallel C D$．

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设 $a>0$，函数 $f(x)=\begin{cases} x+2, &x<-a, \\ \sqrt{a^2-x^2},&-a \leqslant x \leqslant a,\\ -\sqrt{x}-1, &x>a. \end{cases}$ 给出下列四个结论：

① $f(x)$ 在区间 $(a-1,+\infty)$ 上单调递減；

② 当 $a \geqslant 1$ 时，$f(x)$ 存在最大值；

③ 设 $M\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$（$x_1 \leqslant a$），$N\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$（$x_2>a$），则 $|M N|>1$；

④ 设 $P\left(x_3, f\left(x_3\right)\right)$（$x_3<-a$），$ Q\left(x_4, f\left(x_4\right)\right)$（$x_4 \geqslant-a$）．若 $|P Q|$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围是 $\left(0, \dfrac{1}{2}\right]$．

其中所有正确结论的序号是_______．

答案    ②③．

解析    函数 $f(x)$ 的图象如图，其中半圆的半径为 $r$．

① 当 $a=\dfrac 12$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac 12,0\right)$ 上单调递增，结论错误；

② 当 $a\geqslant 1$ 时，有\[f(x)\begin{cases} <2-a,&x<-a,\\
\leqslant a,&-a\leqslant x\leqslant a,\\
<-\sqrt a-1,&x>a,\end{cases}\leqslant a,\]等号当且仅当 $x=0$ 时取得，因此 $f(x)$ 存在最大值 $a$，结论正确；

③ 根据题意，$N\left(a,-\sqrt a-1\right)$，记直线 $l:y=x+2$，$A(a,0)$，有\[|MN|\geqslant \begin{cases} d(N,l),&x_1<-a,\\
|PN|,&-a\leqslant x_1\leqslant a,\end{cases}=\begin{cases} \dfrac{a+\sqrt a+2}{\sqrt 2},&x_1<-a,\\
\sqrt a+1,&-a\leqslant x_1\leqslant a,\end{cases}>1,
\]结论正确；

④ 根据题意，原点 $O$ 在直线 $y=x$ 上的投影横坐标小于 $-a$，因此 $a$ 的取值范围是 $\left(0,1\right)$，结论错误．

综上所述，结论 ②③ 正确．

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），则（       ）

A．当 $a_{1}=3$ 时，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递减数列，且存在常数 $M\leqslant 0$，使得 $a_n>M$ 恒成立

B．当 $a_{1}=5$ 时，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，且存在常数 $M\leqslant 6$，使得 $a_n<M$ 恒成立

C．当 $a_{1}=7$ 时，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递减数列，且存在常数 $M> 6$，使得 $a_n>M$ 恒成立

D．当 $a_{1}=9$ 时，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，且存在常数 $M> 0$，使得 $a_n<M$ 恒成立

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已知函数 $f(x)=\left(\dfrac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$．

1、当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程．

2、是否存在 $a, b$，使得曲线 $y=f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 关于直线 $x=b$ 对称，若存在，求 $a, b$ 的值，若不存在，说明理由．

3、若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围．

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已知椭圆 $C: \dfrac{y^{2}}{a^{2}}+\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上．

1、求 $C$ 的方程．

2、过点 $(-2,3)$ 的直线交 $C$ 于点 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$，证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

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设 $a \in(0,1)$，若函数 $f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是_______．

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已知圆 $O$ 的半径为 $ 1$，直线 $P A$ 与圆 $O$ 相切于点 $A$，直线 $P B$ 与 圆 $O$ 交于 $B, C$ 两点，$D$ 为 $B C$ 的中点，若 $|P O|=\sqrt{2}$，则 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PD}$ 的最大值为（       ）

A．$\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$

B．$\dfrac{1+2 \sqrt{2}}{2}$

C．$1+\sqrt{2}$

D．$2+\sqrt{2}$

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已知函数 $f(x)=a x-\dfrac{\sin x}{\cos ^{2} x}$，$ x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$． 当 $a=1$ 时，

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(x)+\sin x<0$，求 $a$ 的取值范围．

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