日日思君不见君，共饮运河水

前一阵子，我有个北京的帅哥学生去杭州游学，回来之后就问我北京到杭州的球面距离是多少．我知道，他一定是在游学期间结识了杭州的一位（也许是若干位）美女同学，于是回北京之后夜夜相思，遂有此问．也巧，北京和杭州正好是京杭大运河的两端．这真是日日思君不见君，共饮运河水啊．

我们先来推导出一般公式，这里采用弧度制．如图，为了方便计算，我们假设地球是一个半径$r=6371$km的规则球体，$N$为北极点，$S$为南极点．设帅哥同学所在的点$A$的经度为$j_1$，纬度为$w_1$；美女同学所在的点$B$的经度为$j_2$，纬度为$w_2$．其中东半球的点经度取为正数，西半球的点经度取为负数；北半球的点纬度取为正数，南半球的点纬度取为负数．设点$A$所在的经线交赤道于点$A_1$，点$B$所在的经线交赤道于点$B_1$．

由地理知识（详见《百度百科——经纬度》）可知，$\angle{AOA_1}=w_1,\angle{BOB_1}=w_2,\angle{A_1OB_1}=j_1-j_2$．设$\angle AOB$的大小为$\varphi \left(0\leqslant \varphi \leqslant \pi \right)$，则由三射线定理（详见《三射线定理及其典型应用》一文）可知，

$$\begin{split}\cos{\varphi} &=\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-w_1 \right) }\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-w_2 \right) }+\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}-w_1 \right) }\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}-w_2\right)}\cos{\left(j_1-j_2\right) }\\&=\cos{w_1}\cos{w_2}\cos{\left(j_1-j_2\right) }+\sin{w_1}\sin{w_2},\end{split}$$ 故 $$\varphi =\arccos{\left[\cos{w_1}\cos{w_2}\cos{\left(j_1-j_2\right) }+\sin{w_1}\sin{w_2}\right]},$$ 所以$A,B$两点间的球面距离为 $$r\cdot\varphi=r\cdot\arccos{\left[\cos{w_1}\cos{w_2}\cos{\left(j_1-j_2\right) }+\sin{w_1}\sin{w_2}\right]}.$$

根据北京、杭州的地理位置，我们取帅哥同学的坐标为东经$116^\circ$，北纬$40^\circ$；美女同学的坐标为东经$120^\circ$，北纬$30^\circ$．代入上式计算，可知此"相思球面距离"约为$1170$km．

$1170$km的球面距离需要花费多长时间可以跨越呢？从首都国际机场到萧山国际机场的航班运行时间约为$2$小时$15$分钟；从北京南站到杭州东站的高铁运行时间约为$5$小时$15$分钟，如果思念，那就相见．

注  京杭大运河全长$1794$km．至$2012$年，通航里程为$1442$km．2014年9月，通州、武清、香河三地水务部门已签订战略合作协议，京杭大运河通州—香河—武清段有望实现复航，计划于2017年实现初步通航，2020年正式通航（详见《百度百科——京杭大运河》）．那时候，若是坐船往返于京杭之间，倒也别有风情．