计算$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$的三种算两次方法

求和：$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$．

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•  方法一

考虑裂项

$$\sum\limits_{k=1}^n\left({(k+1)^3-k^3}\right)=(n+1)^3-1,$$

另一方面，又有

$$\begin{split}\sum\limits_{k=1}^n\left({(k+1)^3-k^3}\right)&=\sum\limits_{k=1}^n\left(3k^2+3k+1\right)\\&=3\sum\limits_{k=1}^nk^2+\sum\limits_{k=1}^n\left(3k+1\right)\\&=3\sum\limits_{k=1}^nk^2+\dfrac 12n(3n+5).\end{split}$$

于是

$$\sum\limits_{k=1}^nk^2=\dfrac 13\left((n+1)^3-1-\dfrac 12n(3n+5)\right)=\dfrac 16n(n+1)(2n+1).$$

类似的，也可以考虑这样裂项

$$\sum\limits_{k=1}^n\left(k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\right).$$

• 方法二
  我们先将$1$个$1$，$2$个$2$，$3$个$3$，$\cdots$，$n$个$n$排列成三角阵，然后将它分别旋转$\pm 120^\circ$，加上原来的那个，我们得到三个三角阵．

如图三个三角形做成“三明治”，那么每个位置的和都是$2n+1$，马上就可以推得

$$3(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)=(1+2+3+\cdots+n)\cdot (2n+1),$$

于是可得

$$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac 16n(n+1)(2n+1).$$

 

• 方法三(《proofs without words II》)

假设平面上有$1+2+3+\cdots+n$个小球，每个小球的质量都是$1$kg．它们排成了一个三角形阵，具体地说，它们排成了一个倒置的、以$(0, 1)$为顶点的等边三角形．这个三角形阵作为一整个物体，它的重心的$y$坐标是多少？我们有两种不同的求解方法．

第一种方法是暴力方法．这个物体的重心的$y$坐标，一定等于所有小球的$y$坐标的平均值，即

$$\dfrac {1\times 1+2\times 2+3\times 3+\cdots+n\times n}{1+2+3+\cdots+n}=\dfrac {1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2}{n\cdot(n+1)/2}.$$

另一种方法则是利用图形的对称性．由对称性，整个三角形阵的重心显然应该位于这个三角形各边中线的交点上，一些经典的几何结论可以告诉我们，这个交点正好把每条中线都分成了$1 : 2$两段．因而，这个点的 $y$坐标就是

$$1+\dfrac {2\cdot (n-1)}{3}=\dfrac {2n+1}3.$$

这两种方法求出来的答案应该相等．于是，我们得到了等式

$$\dfrac {1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2}{n\cdot(n+1)/2}=\dfrac {2n+1}3$$

即

$$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac 16n(n+1)(2n+1).$$