正弦值最大的四位数

问题来自于我的一个朋友推荐的游戏：每个人写一个四位正整数，正弦值最大的人赢．

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解决问题的关键是寻找最接近$\dfrac{\pi}2$的$4k+1$($k\in\mathcal N^*$)倍的四位数．

首先，利用连分数

$$\dfrac{\pi}2=[1;1,1,3,31,1,145,\ldots]$$ 得到一个$\dfrac{\pi}2$的分数近似$\dfrac pq$，其中分子$p$不超过四位数，分母$q$模$4$余$1$，经过计算得到$\dfrac{699}{445}$符合要求．

接下来，利用密率$\pi\approx\dfrac{355}{113}$可得$226\pi\approx 710$，因此得到四位数$699+710=1409$，这个四位数的正弦值为

$$\sin 1409=0.9999907939205\ldots,$$ 此结果已经非常好了．

但是问题没有结束，注意到$\dfrac{699}{445}$比$\dfrac{\pi}2$略小，而$\dfrac{355}{113}$比$\pi$略大，因此可以不停的追加$710$，使得四位数更靠近$\dfrac{\pi}2$的$4k+1$($k\in\mathcal N^*$)倍．受限于四位数，我们得到

$$699+710\times 13=9929,$$ 这个四位数的正弦值为 $$\sin 9929=0.9999935858249\ldots,$$ 这个结果是用该方案得到的最好结果了．

经过编程验证，四位数$9929$的确是四位数中正弦值最大的，这对我而言无疑是一个惊喜：）

注    关于追加$710$：

第一，实际上是需要验算的，因为怕加爆了（玩过凑21点的扑克牌游戏吧）．

第二，听说原版是计算正切值，这样一来如果不让验算，那么写出$1409$以后，是不敢追加$710$的．因为和正弦不同，正弦的情况下爆了就爆了，损失不大；正切的情况下爆了就亏大了！

第三，经过验算，正弦值最大的四位数的确就是正切最大的四位数．

第四，这个问题最有趣的部分就在于最后追加$710$的那种贪心不足又怕从天堂坠入地狱的矛盾心态．