求带系数的线段和极值问题

平面直角坐标系中，$A(2\sqrt 2,2)$，点$Q$是$y$轴上的动点，求$AQ+\dfrac 13QO$的最小值．

答案是 $\dfrac {10}3$．
解    先构造$\dfrac 13QO$，如图，作直线$l$，使 $$\sin \alpha =\dfrac 13.$$ 有 $$\dfrac 13QO=QH.$$ 所以 $$AQ+QH\geqslant AH,$$ 当$A,Q,H$三点共线时，线段和取得最小值为$AH$．而当$AH\perp OH$时，$AH$取得最小值．作$AG\perp y$轴，得 $$\triangle AGQ\backsim \triangle OHQ.$$ 即可求得$AQ+\dfrac 13QO$的最小值$AH$长为$\dfrac {10}3$．

练习   （2009北京中考 25（3）问）如图，在平面直角坐标系中，已知三点$A(-6,0),B(6,0),M(0,6\sqrt 3)$，点$P$为$y$轴上的动点，从$M$出发，先沿$y$轴到达点$G$，再沿$GA$到达$A$点，若$P$点在$y$轴上运动的速度是它在直线$GA$上运动速度的$2$倍，试确定$G$的位置，使$P$点按照上述要求到达点$A$点所用的时间最短．

答案是 $G(0,2\sqrt 3)$．

解    $t=\dfrac {MG}{2v}+\dfrac {AG}{v}=\dfrac {1}{v}(\dfrac {MG}{2}+{AG})$，所以要求时间最短也就是求$(\dfrac {MG}{2}+{AG})$最小．
因为 $$\tan \angle BMO=\dfrac {\sqrt 3}3,$$ 所以 $$\angle BMO=30^\circ.$$ 所以 $$GH=\dfrac 12 GM.$$ 即当$AH\perp MB$与$y$轴交点为$G$，此时$AG+GH$的值最小．易求$G(0,2\sqrt 3)$．