用方格来解决的几何题

【初级】
如图，在${\rm Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$AC:CB=1:3$，且$E,D$是$BC$三等分点，求证：$\angle 1+\angle 2=45^\circ$．

分析    $\angle 1$与$\angle 2$目前处于分离的状态，一般处理这种题目方向有两种，①把两个角放到一个三角形中：通过比值可得到$\triangle AED\backsim \triangle BEA$，则$\angle 2=\angle EAB$，这个方法相似不太好找，不推荐；②把它们组成一个大角：根据已知条件中的比值，可以构建方格，两个角通过全等很容易组合成大角，这样问题就会非常简单了．

解根据$\triangle ADC\cong \triangle FBE$，可得$\angle 2=\angle EBF$．
因为$\triangle AFB$为等腰直角三角形，从而得到$\angle 1+\angle 2=45^\circ$．

【升级】

（2009年海淀八年级上期末27题最后一问）
在平面直角坐标系$xOy$中，$A(2,1),B(3,1),C(6,0)$，点$P$在$x$轴上，$\angle APB=20^\circ$，求$\angle A+\angle B$的度数．

解因为$\angle C=\angle DOP$，$\triangle AOD$为等腰直角三角形，
所以$\angle AOP+\angle DOP=45^\circ$．
因为$\angle APO+\angle BPC=160^\circ$，
再根据三角形内角和，可得$\angle A+\angle B=155^\circ$．

点评    若$\tan\angle A=\dfrac 12$，$\tan \angle B=\dfrac 13$，（$\angle A,\angle B$均为锐角）则$\angle A+\angle B=45^\circ$．这个结论在小题中可以直接使用，解答题中需要证明．