利用直角坐标系解决翻折问

如图，将正方形$ABCD$翻折，使点$B$落在$CD$边上点$E$处（不与$C,D$重合），压平后得到折痕$MN$．设$\dfrac {CE}{CD}=\dfrac 1n$，则$\dfrac {AM}{BN}=$                       （用含$n$的式子表示）． 答案　$\dfrac {(n-1)^2}{n^2+1}$．
解  方法一　这个方法比较常规，利用翻折的性质，得到$BM=ME$．
由已知，不妨设$BC=n,CE=1$，
在$\mathrm {Rt}\triangle NEC$中，根据勾股定理得

$$EN^2=CN^2+CE^2,$$ 解得 $$BN=\dfrac {n^2+1}{2n}.$$ 又因为 $$AB^2+AM^2=MD^2+DE^2,$$ 解得 $$AM=\dfrac {(n-1)^2}{2n}.$$ 故  $$\dfrac {AM}{BN}=\dfrac {(n-1)^2}{n^2+1}.$$  
方法二　建立平面直角坐标系，通过求直线$MN$的解析式，得到$AM,BN$的长，使问题得到解决．
如图，以$B$为坐标原点建立平面直角坐标系，易得$A(0,n),B(0,0),C(n,0),D(n,n),E(n,1)$．求得直线$BE$解析式为 $$y=\dfrac xn.$$  因为$MN$垂直平分$BE$，则$P(\dfrac n2,\dfrac 12)$，从而得直线$MN$的解析式为 $$y=-nx+\dfrac {n^2+1}2.$$ 将$y=0$，$y=n$代入即可得$AM,BN$，从而 $$\dfrac {AM}{BN}=\dfrac {(n-1)^2}{n^2+1}.$$  
翻折问题我们常用的方法是寻找翻折前后的不变量，今天引入一个新的媒介——平面直角坐标系，通过直线方程来解决翻折问题．当正方形、矩形、等腰三角形等图形中涉及数量关系比较多的时候，我们不妨试一下这种方法，思路清晰易懂．