四点共圆填空一道

如图，在菱形$ABCD$中，$\angle B=60^\circ$，$AB=4$，点$E$在$BC$上，$BE=3CE$，点$F$在$DE$上，$\angle AFC=120^\circ$，$EF>EC$，则$DF=$_____．答案　$DF=\dfrac 4 7\sqrt{21}$．

方法一如图，作$AM\perp BC$于点$M$，延长$AM$，$DE$，交于点$N$， $$\triangle MEN \backsim \triangle ADN,$$ 所以 $$AN=\dfrac{8\sqrt 3}{3},$$ 由题意可知点$A$，$B$，$C$，$F$在同一个$\odot P$上， 连接$AC$，
因为$\triangle ABC$为等边三角形，可得$\odot P$的直径为$\dfrac{8\sqrt 3}{3}$．
所以$AN$为$\odot P$的直径．
在${\rm Rt}\triangle AND$和${\rm Rt}\triangle AFD$中， $$AD^2=DF\cdot DN,$$ 所以 $$DF=\dfrac 4 7\sqrt{21}.$$
方法二
作$AO \perp BC$于$O$，以点$O$为坐标原点，$BC$为$x$轴，$OA$为$y$轴建立直角坐标系． 则$A(0,2\sqrt 3)$，$C(2,0)$，$E(1,0)$，$D(4,2\sqrt 3)$，$P(0,\dfrac{2\sqrt 3}{3})$．
直线$ED$解析式为： $$y=\dfrac{2\sqrt 3}{3}x-\dfrac{2\sqrt 3}{3}.$$ 设$F(a,\dfrac{2\sqrt 3}{3}a-\dfrac{2\sqrt 3}{3})$，由已知得$PF=PA$，则
$$a^2+(\dfrac{2\sqrt 3}{3}a-\dfrac{2\sqrt 3}{3}-\dfrac{2\sqrt 3}{3})^2=(\dfrac 43\sqrt 3)^2,$$ 解得$a=\dfrac{16}{7}$， 所以$DF=\dfrac 4 7\sqrt{21}$．