利用几何变换求三角形面积

ABC中,AB=2ACBAC=60,三角形内有一点PPA=3PC=2PB=5,求ABC的面积.

QQ截图20151117151811


分析    此题刚看到时感觉很像下面这道题(旋转方法)有木有?QQ截图20151117151750当然我们依然可以用旋转的方法解决.

解    法一   旋转法QQ截图20151117151831如图,作ADB,使得ADBAPC且相似比为2:1,连接DP,所以DAP=60
根据已知易得ACB=90
再根据各边长可得到APD=90BDP=90
QQ截图20151117151839AAMBDBD延长线于点M,所以AB2=BM2+AM2,所以SABC=12ABACsin60=38AB2=6+732.


此题旋转法并不是最简单的方法,由于已知中的角度比较特殊,我们还可以采用更简单的方法来解决.

法二    对称法QQ截图20151117151821如图,P1P关于AB对称,P2P关于BC对称,P3P关于AC对称.
根据已知易得ACB=90,所以P1AP3=120P1BP2=60
所以P1P3=3P1P2=5P2P3=4
P1P2P3为直角三角形,所以SABC=12SAP1BP2P3=6+732.


除了以上两种方法外,还有一种初中生比较陌生的建立坐标系方法,其实此方法在高中很常用,初中也可以尝试此方法.

法三    坐标系法
根据已知易得ACB=90QQ截图20151117151804设点A(0,x)(x>0)P(a,b),则点B(3x,0).因为{a2+b2=4,(a+3x)2+b2=25,a2+(xb)2=3.所以x414x2+37=0,解得x2=7+23.所以SABC=32x2=6+732.
另:因为点P在第二象限,所以ab<0,当x2=723时,ab>0,所以舍去;当x2=7+23时,ab<0,符合题意.

总结    当遇见三角形内一点的问题时,若在已知中能找寻到特殊角度,三角形内的点连接各顶点的距离已知时,我们可以采取旋转和对称的方法,建立坐标的方法在初中阶段只了解就可以.

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