利用几何变换求三角形面积

在$\triangle ABC$中，$AB=2AC$，$\angle BAC=60^\circ$，三角形内有一点$P$，$PA=\sqrt 3$，$PC=2$，$PB=5$，求$\triangle ABC$的面积．

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分析    此题刚看到时感觉很像下面这道题（旋转方法）有木有？当然我们依然可以用旋转的方法解决．

解    法一   旋转法如图，作$\triangle ADB$，使得$\triangle ADB\backsim \triangle APC$且相似比为$2:1$，连接$DP$，所以$\angle DAP=60^\circ$．
根据已知易得$\angle ACB=90^\circ$．
再根据各边长可得到$\angle APD=90^\circ$，$\angle BDP=90^\circ$，
过$A$作$AM\perp BD$交$BD$延长线于点$M$，所以

$$AB^2=BM^2+AM^2,$$ 所以 $$\begin{split}S_{\triangle ABC} & =\dfrac 12 AB\cdot AC \sin 60^\circ\\ &=\dfrac{\sqrt 3}{8}AB^2\\ &=\dfrac{6+7\sqrt 3}{2}.\end{split}$$

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此题旋转法并不是最简单的方法，由于已知中的角度比较特殊，我们还可以采用更简单的方法来解决．

法二    对称法如图，$P_1$与$P$关于$AB$对称，$P_2$与$P$关于$BC$对称，$P_3$与$P$关于$AC$对称．
根据已知易得$\angle ACB=90^\circ$，所以$\angle P_1AP_3=120^\circ$，$\angle P_1BP_2=60^\circ$，
所以$P_1P_3=3$，$P_1P_2=5$，$P_2P_3=4$，
即$\triangle P_1P_2P_3$为直角三角形，所以

$$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12 S_{五边形AP_1BP_2P_3}=\dfrac{6+7\sqrt 3}{2}.$$

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除了以上两种方法外，还有一种初中生比较陌生的建立坐标系方法，其实此方法在高中很常用，初中也可以尝试此方法．

法三    坐标系法
根据已知易得$\angle ACB=90^\circ$．设点$A(0,x)(x>0)$，$P(a,b)$，则点$B(-\sqrt 3 x,0)$．因为

$$\begin{cases}a^2+b^2=4,\\(a+\sqrt 3 x)^2+b^2=25,\\a^2+(x-b)^2=3.\end{cases}$$ 所以 $$x^4-14x^2+37=0,$$ 解得 $$x^2=7+2\sqrt 3.$$ 所以 $$S_{\triangle ABC}=\dfrac{\sqrt3}{2}x^2=\dfrac{6+7\sqrt 3}{2}.$$
另：因为点$P$在第二象限，所以$ab<0$，当$x^2=7-2\sqrt3$时，$ab>0$，所以舍去；当$x^2=7+2\sqrt3$时，$ab<0$，符合题意．

总结    当遇见三角形内一点的问题时，若在已知中能找寻到特殊角度，三角形内的点连接各顶点的距离已知时，我们可以采取旋转和对称的方法，建立坐标的方法在初中阶段只了解就可以．