在△ABC中,AB=2AC,∠BAC=60∘,三角形内有一点P,PA=√3,PC=2,PB=5,求△ABC的面积.
分析 此题刚看到时感觉很像下面这道题(旋转方法)有木有?当然我们依然可以用旋转的方法解决.
解 法一 旋转法如图,作△ADB,使得△ADB∽△APC且相似比为2:1,连接DP,所以∠DAP=60∘.
根据已知易得∠ACB=90∘.
再根据各边长可得到∠APD=90∘,∠BDP=90∘,
过A作AM⊥BD交BD延长线于点M,所以AB2=BM2+AM2,所以S△ABC=12AB⋅ACsin60∘=√38AB2=6+7√32.
此题旋转法并不是最简单的方法,由于已知中的角度比较特殊,我们还可以采用更简单的方法来解决.
法二 对称法如图,P1与P关于AB对称,P2与P关于BC对称,P3与P关于AC对称.
根据已知易得∠ACB=90∘,所以∠P1AP3=120∘,∠P1BP2=60∘,
所以P1P3=3,P1P2=5,P2P3=4,
即△P1P2P3为直角三角形,所以S△ABC=12S五边形AP1BP2P3=6+7√32.
除了以上两种方法外,还有一种初中生比较陌生的建立坐标系方法,其实此方法在高中很常用,初中也可以尝试此方法.
法三 坐标系法
根据已知易得∠ACB=90∘.设点A(0,x)(x>0),P(a,b),则点B(−√3x,0).因为{a2+b2=4,(a+√3x)2+b2=25,a2+(x−b)2=3.所以x4−14x2+37=0,解得x2=7+2√3.所以S△ABC=√32x2=6+7√32.
另:因为点P在第二象限,所以ab<0,当x2=7−2√3时,ab>0,所以舍去;当x2=7+2√3时,ab<0,符合题意.
总结 当遇见三角形内一点的问题时,若在已知中能找寻到特殊角度,三角形内的点连接各顶点的距离已知时,我们可以采取旋转和对称的方法,建立坐标的方法在初中阶段只了解就可以.