如图,∠B=∠CDE=90∘,BC=6,AB=8,求BD为何值时CE最短,并求出CE的最小值.方法一: 注意到动点D在运动时,∠CDE=90∘是不变量,那么点D在以CE为直径的圆上.
比较上面两图可知,当且仅当⊙O与AB相切时,半径OD最小. 连接OD, 易证△AOD∽△ACB,所以AOAC=DOBC.解得r=154.即CE的最小值为7.5.
方法二: 当看到图中两个直角的顶点都在线段AB上时,易想到如图构造“一线三等角”相似模型.故作EH⊥AB,垂足为H,
易得△DEH∽△CDB,△AEH∽△ACB,设EH=3x,AH=4x,AE=5x,BD=y,DH=8−4x−y,CE=10−5x, 即有3xy=8−4x−y6,整理,得y2−(8−4x)y+18x=0,关于y的一元二次方程有根,得Δ⩾解得0<x \leqslant \dfrac 12 \ \ 或\ x\geqslant 8(舍).所以CE\geqslant \dfrac {15}2.即CE的最小值为7.5.
在遇到动点问题时我们要多注意这些不变量,此题两种方法中利用辅助圆就比代数方法简便很多,所以值得大家推广学习.