巧用辅助圆,做题更简单!

如图,B=CDE=90BC=6AB=8,求BD为何值时CE最短,并求出CE的最小值.3方法一: 注意到动点D在运动时,CDE=90是不变量,那么点D在以CE为直径的圆上. 3比较上面两图可知,当且仅当OAB相切时,半径OD最小. 连接OD, 易证AODACB所以AOAC=DOBC.解得r=154CE的最小值为7.5
方法二: 当看到图中两个直角的顶点都在线段AB上时,易想到如图构造“一线三等角”相似模型.一线三等角故作EHAB,垂足为H3易得DEHCDBAEHACBEH=3xAH=4xAE=5x,BD=y,DH=84xy,CE=105x, 即有3xy=84xy6整理,得y2(84x)y+18x=0,关于y的一元二次方程有根,得Δ解得0<x \leqslant \dfrac 12 \ \ 或\ x\geqslant 8(舍).所以CE\geqslant \dfrac {15}2.CE的最小值为7.5
在遇到动点问题时我们要多注意这些不变量,此题两种方法中利用辅助圆就比代数方法简便很多,所以值得大家推广学习.

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