练习题[30] 提高练习

1、存在函数$f(x)$，使得下列等式对任意实数$x$均成立的是（        ）

A．$f(\sin 2x)=\sin x$

B．$f(\sin 2x)=x^2+x$

C．$f\left(x^2+1\right)=|x+1|$

D．$f\left(x^2-2x\right)=|x-1|$

2、已知函数$f(x)=x^2+bx+c$，其中$b,c\in\mathcal R$．集合$A=\left\{x|f(x)=0\right\}$与集合$B=\left\{x|f(f(x))=0\right\}$满足$A\cap B\neq \varnothing$且$A\cup B\neq A$，则实数$b$的取值范围是（        ）

A．$[0,4]$

B．$(-\infty,0]\cup [4,+\infty )$

C．$[0,4)$

D．$(-\infty,0)\cup [4,+\infty )$

3、抛物线$y^2=2x$的内接三角形$ABC$的三条边所在直线与抛物线$x^2=2y$均相切，设$A$、$B$两点的纵坐标分别是$a$、$b$，则$C$点的纵坐标是（        ）

A．$a+b$

B．$-a-b$

C．$2a+2b$

D．$-2a-2b$

4、已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=a$，且$a_{n+1}=a_n^2+a$，求使得数列$\{a_n\}$有界为$2$的实数$a$的取值范围．

5、已知$1\leqslant a_1\leqslant a_2\leqslant a_3\leqslant a_4\leqslant a_5\leqslant a_6\leqslant 64$，求$\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_3}{a_4}+\dfrac{a_5}{a_6}$的最大值与最小值．

6、裂项求和：$\arctan\dfrac 13+\arctan\dfrac 17+\cdots+\arctan\dfrac 1{n^2+n+1}$．

7、已知数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$满足$a_1=1$，$b_1=2$，且 $$\begin{cases}a_{n+1}=\dfrac{1+a_n+a_nb_n}{b_n},\\b_{n+1}=\dfrac{1+b_n+a_nb_n}{a_n},\end{cases}$$ 求证：$a_{2014}<5$．

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参考答案

1、D

2、D    提示    注意$f(0)=0$．

3、B    提示    考虑$a,b,c$的对称性即可．严格推导过程如下：

根据已知，有$A \left( \dfrac 12a^2,a\right)$，$B \left( \dfrac 12b^2,b\right)$，$C\left(\dfrac 12c^2,c\right)$，由直线的点斜式方程不难推得 $$AB:y=\dfrac{2}{a+b}x+\dfrac{ab}{a+b},$$ 该直线与抛物线$x^2=2y$相切，于是联立后由判别式等于零推得 $$ab(a+b)=-2,$$ 根据对称性，亦有 $$bc(b+c)=-2,ca(c+a)=-2,$$ 上述两式相比，有 $$\dfrac ba\cdot\dfrac{b+c}{c+a}=1,$$ 整理即得 $$c=-(a+b).$$

4、$\left[-2,\dfrac 14\right]$    提示    迭代函数有不动点，且较大的不动点在$[-2,2]$内．

5、最大值显然为$3$，当$a_1=a_2$，$a_3=a_4$，$a_5=a_6$时取得；

最小值为$\dfrac 34$，这是因为 $$\begin{split}\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_3}{a_4}+\dfrac{a_5}{a_6}&\geqslant 3\sqrt[3]{\dfrac{a_1}{a_2}\cdot\dfrac{a_3}{a_4}\cdot\dfrac{a_5}{a_6}}\\&\geqslant \dfrac 34\sqrt[3]{\dfrac{a_3}{a_2}\cdot\dfrac{a_5}{a_4}}\\&\geqslant \dfrac 34,\end{split}$$ 依次利用了均值不等式，$a_1\geqslant 1\land a_6\leqslant 64$，以及$a_3\geqslant a_2\land a_5\geqslant a_4$．

6、$\dfrac{\pi}4-\arctan\dfrac{1}{n+1}$．

7、略．    提示    注意到 $$\dfrac{1}{1+a_{n+1}}-\dfrac{1}{1+b_{n+1}}=\dfrac{1}{1+a_n}-\dfrac{1}{1+b_n},$$ 于是$\dfrac{1}{1+a_n}=\dfrac{1}{1+b_n}+\dfrac 16$，即得．