练习题集[29] 基础练习

1、（2015年·新课标·文16）已知$F$是双曲线$C:x^2-\dfrac{y^2}{8}=1$的右焦点，$P$是$C$的左支上一点，$A\left(0,6\sqrt 6\right)$，当$\triangle APF$周长最小时，该三角形的面积是_______．

2、（2015年·湖南·理15）已知函数$f(x)=\begin{cases}x^3,&x\leqslant a\\x^2,&x>a,\end{cases}$若存在实数$b$，使得$g(x)=f(x)-b$有两个零点，则$a$的取值范围是_______．

3、（2015年·陕西·理16）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠的界面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前的最大流量的比值为_______．

4、（2014年·湖北·预赛7）在四面体$ABCD$中，$AB=AC=3$，$BD=BC=4$，$BD\perp ABC$，则四面体$ABCD$的外接球的半径为_______．

5、如图，求四边形$ABDC$的面积．

6、（2014年·北京丰台·一模理8）如果某年年份的各位数字之和为$7$，，我们称该年为“七巧年”．例如，今年年份$2014$的各位数字之和为$7$，所以今年恰为“七巧年”．那么从$2000$年到$2999$年中“七巧年”共有_______个．

7、用$a$代表红球，$b$代表蓝球，$c$代表黑球，由加法原理及乘法原理，从$1$个红球和$1$个蓝球中取出若干个球的所有取法可由$(1+a)(1+b)$的展开式$1+a+b+ab$表示出来，如：“$1$”表示一个球都不取、“$a$”表示取出一个红球，而“$ab$”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从$5$个无区别的红球、$5$个无区别的蓝球、$5$个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（        ）

A．$\left(1+a+a^2+a^3+a^4+a^5\right)\left(1+b^5\right)\left(1+c\right)^5$

B．$\left(1+a^5\right)\left(1+b+b^2+b^3+b^4+b^5\right)\left(1+c\right)^5$

C．$\left(1+a\right)^5\left(1+b+b^2+b^3+b^4+b^5\right)\left(1+c^5\right)$

D．$\left(1+a^5\right)\left(1+b\right)^5\left(1+c+c^2+c^3+c^4+c^5\right)$

参考答案

1、$12\sqrt 6$    提示    注意利用焦半径公式．

2、$(-\infty,0)\cup (1,+\infty)$    提示    注意在$(0,1)$之间$y=x^3$与$y=x^2$的相对位置关系．

3、$1.2$    提示    当前的最大流量为$\int_{-5}^5\left(2-\dfrac 2{25}x^2\right){\rm d}x=\dfrac{40}{3}$．

4、$\dfrac{\sqrt{805}}{10}$  提示    外接球的球心在各个平面上的投影均为对应底面的外心．

5、$9$    提示    三角形$AOB$为等腰三角形，进而$OBCA$为等腰梯形，可得$\angle COD=30^\circ$，所求面积即三角形$OCD$的面积．

6、$21$

7、A