1、已知函数\(f(x)=x^2+ax+1\)，若存在\(x_0\)使\(\left| f(x_0)\right|\leqslant \dfrac 14\)，\(\left|f(x_0+1)\right|\leqslant \dfrac 14\)同时成立，则实数\(a^2\)的取值范围为_______．
2、\(y=\sqrt{\sin^2{2x}+2\cos^2x}+\sin{2x},x\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]\)的最大值是_______．
3、 如图，已知四边形\(ABCD\)中，\(\angle ABC=\angle ADC=90^\circ\)，\(AB=a\)，\(AD=b\)，则\(\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {BD}=\)_______．
4、已知\(\overrightarrow a\)和\(\overrightarrow b\) 的长度均为\(2\)，且\(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=2\)，向量\(\overrightarrow c\)满足\(\left(\overrightarrow a -\overrightarrow c\right)\cdot\left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0\)，则\(2\overrightarrow a-\overrightarrow c\)的长度的最大值为_______．
5、设二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)，对于任意的实数\(x\)，均有\(f(x)\geqslant f'(x)\)恒成立，则\(\dfrac{a^2+c^2}{b^2}\)的最小值为_______．
6、过点\(A(-2,3)\)作抛物线\(y^2=4x\)的两条切线与\(y\)轴交于\(B\)、\(C\)两点，求三角形\(ABC\)外接圆的方程．
7、证明：\(\forall x\geqslant 0,\left({\mathrm e}^x-1\right)\ln (x+1)-x^2\geqslant 0\)．
参考答案
1、\([4,6]\)．
2、 \(\sqrt 6\)．
题中代数式即\[\begin{split}\qquad&\sqrt{4\sin^2x\cos^2x+2\cos^2x}+2\sin x\cos x\\&=\cos x\cdot\sqrt{4\sin^2x+2}+\sin x\cdot 2\cos x\\&\geqslant \sqrt{\cos^2x+\sin^2x}\cdot\sqrt{4\sin^2x+2+4\cos^2x}=\sqrt 6,\end{split}\]等号当且仅当\(\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sqrt{4\sin^2x+2}}{2\cos x}\)，即\(\sin x=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)时取得．
3、\(b^2-a^2\)．
4、\(\sqrt 7+1\)．
5、\(\dfrac{\sqrt 2+1}{2}\)．
6、\(x^2+y^2+x-3y-2=0\)．
7、提示：注意到\({\mathrm e}^2\geqslant 1+x+\dfrac 12x^2\)，因此只需要证明\(\ln (x+1)\geqslant \dfrac{2x}{x+1}\)．