练习题[20] 基础练习

1、已知函数$f(x)=x^2+ax+1$，若存在$x_0$使$\left| f(x_0)\right|\leqslant \dfrac 14$，$\left|f(x_0+1)\right|\leqslant \dfrac 14$同时成立，则实数$a^2$的取值范围为_______．

2、$y=\sqrt{\sin^2{2x}+2\cos^2x}+\sin{2x},x\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$的最大值是_______．

3、 如图，已知四边形$ABCD$中，$\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$，$AB=a$，$AD=b$，则$\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {BD}=$_______．

4、已知$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$ 的长度均为$2$，且$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=2$，向量$\overrightarrow c$满足$\left(\overrightarrow a -\overrightarrow c\right)\cdot\left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$，则$2\overrightarrow a-\overrightarrow c$的长度的最大值为_______．

5、设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，对于任意的实数$x$，均有$f(x)\geqslant f'(x)$恒成立，则$\dfrac{a^2+c^2}{b^2}$的最小值为_______．

6、过点$A(-2,3)$作抛物线$y^2=4x$的两条切线与$y$轴交于$B$、$C$两点，求三角形$ABC$外接圆的方程．

7、证明：$\forall x\geqslant 0,\left({\mathrm e}^x-1\right)\ln (x+1)-x^2\geqslant 0$．

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参考答案

1、$[4,6]$．

2、 $\sqrt 6$．

题中代数式即

$$\begin{split}\qquad&\sqrt{4\sin^2x\cos^2x+2\cos^2x}+2\sin x\cos x\\&=\cos x\cdot\sqrt{4\sin^2x+2}+\sin x\cdot 2\cos x\\&\geqslant \sqrt{\cos^2x+\sin^2x}\cdot\sqrt{4\sin^2x+2+4\cos^2x}=\sqrt 6,\end{split}$$ 等号当且仅当$\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sqrt{4\sin^2x+2}}{2\cos x}$，即$\sin x=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$时取得．

3、$b^2-a^2$．

4、$\sqrt 7+1$．

5、$\dfrac{\sqrt 2+1}{2}$．

6、$x^2+y^2+x-3y-2=0$．

7、提示：注意到${\mathrm e}^2\geqslant 1+x+\dfrac 12x^2$，因此只需要证明$\ln (x+1)\geqslant \dfrac{2x}{x+1}$．