1.已知正实数 a,b,c 满足 abc=1,求证:5+ab+bc+ca⩾(1+a)(1+b)(1+c).
2.已知a,b>0,则m=b2+2a+b+a2ab+1的最小值是______.
3.求证:n∑k=2lnkk2<1.
4.已知a,b,c>0且abc=1,求证:∑cyca3a2+b+c⩾1.
5.已知 P 为三角形 ABC 的费马点,记 PA,PB,PC 的长为 x,y,z,三角形的边长为 a,b,c.求证:(x+y+z)2⩽ab+bc+ca.
6.已知 ai>0,xi∈R,其中 i=1,2,⋯,n.求证:[(1−n∑i=1(ai⋅sinxi))2+(1−n∑i=1(ai⋅cosxi))2]2⩾4(1−n∑i=1ai)3.
7.求最大的正实数 λ,使得对任意正整数 n 和正实数 ai(i=1,2,⋯,n),都有1+1a1+1a2+⋯+1an⩾λ(1√1+a21+1√1+a21+a22+⋯+1√1+a21+a22+⋯+a2n).
参考答案
1.作齐次代换 (a,b,c)=(yz,zx,xy),则题中不等式即5+∑cycxyz2⩾(x+y)(y+z)(z+x)xyz,也即3xyz+∑cycx2y2z⩾∑cyc(x2y+xy2),此即舒尔不等式,所以原命题得证.
2.2.
观察分母,考虑利用柯西不等式统一分母.根据题意,有m⩾b2+2√a2+1⋅√1+b2+a2√a2+1⋅√b2+1=(a2+1)+(b2+1)√a2+1⋅√b2+1⩾2,等号当(a,b)=(1,1)时取得,因此所求的最小值为2.
3.由积分放缩法,可得LHS<ln24+ln39+∫n3lnxx2dx=ln24+ln39+(−1+lnxx)|n3<ln24+ln39+1+ln33<0.9948,因此原不等式得证.
注 考虑到lnkk2=lnk√k⋅1√k3.而利用导数易得lnk√k<2e,裂项可得1√k3<2(1√k−12−1√k+12),可得LHS<2e⋅2⋅1√2−12≈1.20149,后移放缩起点要到从303项开始放缩,才能达到0.999966⋯.
4.由柯西不等式,可得∑cyca3a2+b+c⩾(∑cyca2)2∑cyc(a3+ab+ac)=∑cyca4+2∑cyca2b2∑cyca3+2∑cycab,而由切比雪夫不等式,可得∑cyc(a3⋅a)⩾∑cyca3⋅a+b+c3⩾∑cyca3,且∑cyc(ab⋅ab)⩾∑cycab⋅ab+bc+ca3⩾∑cycab,因此(∑cyca2)2∑cyc(a3+ab+ac)=∑cyca4+2∑cyca2b2∑cyca3+2∑cycab⩾1,原命题得证.
5.法一 如图,将 △APC 旋转 60∘ 到 △EDC.
有(x+y+z)2=a2+b2−2abcos(C+π3)=a2+b2−2ab(12cosC−√32sinC)=a2+b2−2ab(a2+b2−c24ab−√32⋅√4a2b2−(a2+b2−c2)22ab).整理,得原不等式等价于(2∑cycab−∑cyca2)2⩾3(2∑cyca2b2−∑cyca4).该不等式即∑cyc(a4−ab2c)⩾∑cyc(a3b+ab3).此即Schur不等式当 r=2 时的情形.
法二 根据柯西不等式,有∑cyc√x2+xy+y2⋅√x2+xz+z2=∑cyc√(√32x)2+(12x+y)2⋅√(√32x)2+(12x+z)2⩾∑cyc(34x2+14x2+12xy+12xz+yz)=(x+y+z)2.
6.由于当 n∑i=1ai⩾1 时,右边不大于 0,因此不等式显然成立.接下来只需要考虑 n∑i=1ai<1 的情形.此时 0<ai<1(i=1,2,⋯,n).记m=(1−n∑i=1(ai⋅sinxi))2+(1−n∑i=1(ai⋅cosxi))2,则根据平均值不等式,有m⩾12(2−n∑i=1(ai(sinxi+cosxi)))2=(√2−n∑i=1(ai⋅sin(xi+π4)))2⩾(√2−n∑i=1ai)2,于是问题即证明∀x∈(0,1),(√2−x)4⩾4(1−x)3,也即∀x∈(0,1),x3+(4−4√2)x2+12−8√2⩾0.事实上,由于12x3+12x3+12−8√2⩾3⋅(3−2√2)13⋅x2>4(√2−1)⋅x2,于是原命题得证.
7.考虑使用权方和不等式,有LHS=132112+132(a21)12+1a2+1a3+⋯+1an⩾2√2√1+a21+1a2+1a3+⋯+1an=2√2−1√1+a21+1√1+a21+1√a22+1a3+⋯+1an=2√2−1√1+a21+2√2√1+a21+a22+1a3+⋯+1an⋯⩾(2√2−1)⋅(1√1+a21+1√1+a21+a22+⋯+1√1+a21+a22+⋯+a2n)+1√1+a21+a22+⋯+a2n,等号当 ak=2k−12(k=1,2,⋯,n)时取得.结合 n→∞ 的情形,可得 λ 的最大值为 2√2−1.
第五题可以使用Ptolemy不等式证明