练习题集[93]基础练习

1．化简集合$M=\left\{(x,y)\mid y=px+p^2,p\in \mathbb R\right\}$．

2．已知$\left(2x+\dfrac{1}{x^2}+a\right)^6$的展开式中常数项为$1$，求$a$的值．

3．已知$a<b<c$，求证：$|b|<\max\{|a|,|c|\}$．

4．已知双曲线$E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P\left(3,\dfrac 52\right)$是双曲线$E$上一点，且$\triangle PF_1F_2$的内切圆半径为$1$，求双曲线$E$的方程．

5．已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$与$y$轴交于$A,B$两点，点$P$是椭圆$C$上的一个动点，且点$P$在$y$轴的右侧．直线$PA,PB$与直线$x=4$分别交于$M,N$两点．若以$MN$为直径的圆与$x$轴交于两点$E,F$，求点$P$横坐标的取值范围及$\left|EF\right|$的最大值．

6．已知正数$x,y$满足$15x-y=22$，求$x^3+y^3-x^2-y^2$的最小值．

7．求证：任取四个不同的正整数，一定可以用$24$点的规则(用四则运算符号和括号连接这四个数)算出一个$24$的倍数．

参考答案

1．考虑抛物线$y=ax^2$在$x=t$处的切线方程，为 $$y=2at(x-t)+at^2,$$ 即 $$y=2atx-at^2.$$ 令 $$\begin{cases}2at=p,\\ -at^2=p^2,\end{cases}$$ 解得$a=-\dfrac 14$，$t=-2p$．于是题中集合即抛物线$y=-\dfrac 14x^2$的所有切线上的点构成的集合，也即 $$\left\{(x,y)\mid y\geqslant -\dfrac 14x^2\right\}.$$ 配方也可以直接得到结果．

2．$-1$或$-\sqrt[3]{239}$．

我们熟知$(a_1+a_2+\cdots +a_m)^n$($m,n\geqslant 2$且$m,n\in\mathbb Z$)的展开式中，包含$a_1^{i_1}a_2^{i_2}\cdots a_m^{i_m}$的项的系数为 $$\dfrac{n!}{i_1!\cdot i_2!\cdots i_m!},$$ 其中$i_1+i_2+\cdots+i_m =n$．记 $$(n,i_1,i_2,\cdots,i_{m-1})=\dfrac{n!}{i_1!\cdot i_2!\cdots i_m!}\cdot a_1^{i_1}a_2^{i_2}\cdots a_m^{i_m},$$ 则在本题中，有 $$(6,0,0)+(6,2,1)+(6,4,2)=a^6+240a^3+240=1,$$ 解得$a=-1$或$-\sqrt[3]{239}$．

3．由$a<b<c$可知，必然存在$0<\lambda<1$，使 $$b=(1-\lambda)a+\lambda c,$$ 于是 $$|b|=|(1-\lambda)a+\lambda c|\leqslant (1-\lambda)|a|+\lambda |c|\leqslant \max\{|a|,|c|\}.$$ 等号取得的条件是$a,c$同号，且$|a|=|c|$，无法取得．因此原命题得证．

4．$\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}5=1$．

$\triangle PF_1F_2$的面积 $$\dfrac 12(PF_1+PF_2+F_1F_2)\cdot r=\dfrac 12F_1F_2\cdot h,$$ 其中$r,h$分别为$\triangle PF_1F_2$的内切圆半径和$F_1F_2$边上的高．应用双曲线的焦半径公式 I，可得 $$\dfrac 12(3e+a+3e-a+2c)\cdot 1=\dfrac 12\cdot 2c\cdot \dfrac 52,$$ 解得$a=2$，进而可求得双曲线的方程为$\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}5=1$．

5．点$P$横坐标的取值范围是$\left(\dfrac{8}{5},2 \right]$，$\left|EF\right|$的最大值是$2$．

6．$1$．

设$f(x)=x^3-x^2$，将$y=15x-22$代入，可得原式 $$M(x)=f(x)+f(15x-22),$$ 其中$x\in \left(\dfrac {22}{15},+\infty\right)$．于是 $$\begin{split}M'(x)&=f(x)+15f'(15x-22)\\ &=3x^2-2x+15\left[3\left(15x-22\right)^2-2\left(15x-22\right)\right]\\ &=10128x^2-30152x+22440\\ &=8(633x-935)(2x-3), \end{split}$$ 于是$M(x)$在$x=\dfrac 32$处取得最小值，为 $$M\left(\dfrac 32\right)=f\left(\dfrac 32\right)+f\left(\dfrac 12\right)=1.$$

注　无论使用切线放缩，还是拉格朗日乘数法，都无法避开求解一个大系数的二次方程．

7．分以下两种情形讨论．

情形一　四个数中有$4$的倍数．若剩下的$3$个数中有$6$的倍数，那么命题显然成立．否则按模$6$作三个抽屉，分别余$\pm 1,\pm 2,\pm 3$，若剩下的三个数分别在三个不同的抽屉中，那么它们之间用$+,-$连接可以得到$6$的倍数；若$b,c,d$中有两个在同一个抽屉中，那么这两个数可以用$+,-$连接得到$6$的倍数．最后相乘就可以得到$24$的倍数．

情形二　四个数中没有$4$的倍数，那么按照模$8$作三个抽屉，分别余$\pm 1,\pm 2,\pm 3$，这样至少有$2$个数在同一个抽屉中，它们用$+,-$连接可以得到$8$的倍数．剩下的两个数中若有$3$的倍数，那么命题显然成立．否则按模$3$余数必然为$\pm 1$，这样它们之间用$+,-$连接可以得到$3$的倍数．最后相乘就可以得到$24$的倍数．

综合以上情形，命题得证．