练习题[17] 创新能力培养基础练习

1、已知$a,b,c>0$且$a^2+b^2+c^2=1$，则$\dfrac{(c+1)^2}{abc}$的最小值为________．

2、已知$\forall x\in\mathcal Z,\left[px+q\right]=ax+b$，其中$a,b$为非零常数，$[x]$表示不超过$x$的最大整数．则实数$q$的取值范围是_______．

3、已知圆$x^2+y^2=4$上一点$A(2,0)$，$B$、$C$为圆上动点，$\angle BAC=60^\circ$，则三角形$ABC$的垂心的轨迹方程为_______．

4、已知数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$a_2=6$，$3S_n=(n+1)a_n+n(n+1)$．

（1）求$a_1$，$a_3$；

（2）求数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（3）已知数列$\left\{b_n\right\}$的通项公式是$b_n=\sqrt{a_n}$，$c_n=b_{n+1}-b_n$．试判断数列$c_n$是否是单调数列，并证明：$\forall n\in \mathcal N^*,1<c_n\leqslant \sqrt{6}-\sqrt{2}$．

5、椭圆$\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$，直线$y=\dfrac{1}{2}x$与椭圆交于$A$、$B$两点，$C$、$D$为椭圆上异于$A$、$B$的任意两点，$AC$交$BD$于$M$，$AD$交$BC$于$N$．求证：直线$MN$的斜率为定值．

6、已知数列$\left\{a_n\right\}$的首项$a_1=a$（$a\neq 1$），且满足递推式

$$a_{n+1}=\dfrac{a_n^2}{2\left(a_n-1\right)}.$$ 求$\left\{a_n\right\}$的通项公式．

7、已知数列$\left\{a_n\right\}$的各项均为正数，它的前$n$项之和

$$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n,$$ 前$n$项的倒数之和 $$T_n=\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}.$$ 对于任意的正整数$n$，均有 $$\left(2-S_n\right)\left(1+T_n\right)=2.$$

（1）求$a_1$，$a_2$的值；

（2）设$b_n=2-S_n$，求证：数列$\left\{b_n\right\}$是等比数列；

（3）求数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式．

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参考答案

1、$6+4\sqrt 2$      提示：先考虑$ab\leqslant \dfrac 12\left(a^2+b^2\right)=\dfrac 12\left(1-c^2\right)$． 

2、$\left[b,b+1\right)$．提示：从比较函数$y=f(x)$与函数$y=\left[f(x)\right]$的图象入手．

3、$(x-2)^2+y^2=4,0\leqslant x<3$．

提示：注意$AH=2OM$，其中$M$为$BC$边的中点．

4、（1）$a_1=2$，$a_3=12$；

（2）$a_n=n(n+1)$；      

提示：两边差分，有

$$3a_{n+1}=(n+2)a_{n+1}-(n+1)a_n+2(n+1),$$ 即 $$(n+1)a_n-(n-1)a_{n+1}=2(n+1),$$ 两边同除以$(n-1)n(n+1)$得 $$\dfrac{a_n}{n(n-1)}-\dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}=\dfrac{2}{n(n+1)}.$$

（3）单调递减；略．

5、$-1$．

提示：利用椭圆的“垂径定理”的推论，可得

$$k_{MA}\cdot k_{NB}=k_{MB}\cdot k_{NA}=-\dfrac{b^2}{a^2},$$ 再由分式的合分比定理即得．

6、当$a=0$时，$a_n=0$；当$a\neq 0$时，$a_n=\dfrac{2}{1-\left(\dfrac{a-2}{a}\right)^{2^{n-1}}}$．

提示：利用不动点构造辅助数列$b_n=\dfrac{a_n-2}{a_n}$．

7、（1）$a_1=1$，$a_2=\dfrac 12$；（2）略；（3）$a_n=\dfrac 1{2^{n-1}}$．