1.(2009年北京市崇文区一模)直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点.如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N∗)个格点,则称f(x)为k阶格点函数.下列函数:
(1) f(x)=sinx;
(2) f(x)=π(x−1)2+3;
(3) f(x)=(13)x;
(4) f(x)=log0.6x.
其中是1阶格点函数的有______.
2.(2012年北京市昌平区一模)若对于定义在R上的函数f(x),其函数图象是连续不断的,且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对于任意实数x都成立,则称f(x)是一个λ−伴随函数,有下列关于λ−伴随函数的结论:
(1) f(x)=0是常数函数中唯一一个λ−伴随函数;
(2) f(x)=x不是λ−伴随函数;
(3) f(x)=x2是一个λ−伴随函数;
(4) 12−伴随函数至少有一个零点.
其中正确命题的序号是______ .
3.设圆A:(x+1)2+y2=1,圆B:(x−4)2+y2=4,过圆B上一点M作圆A的切线MP,MQ,两条切线分别交y轴于C,D,则|CD|的取值范围是______.
4.正2016边形内接于单位圆O,从其2016个顶点中任选3个,设为A,B,C,则→OA+→OB+→OC的长度不小于1的概率为______.
5.已知数列{an}满足2an+1=1−a2n,且0<a1<1.求证:当n⩾3时,|1an−(√2+1)|<122n.
6.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形ABCD沿圆周逆时针滚动.假设将正方形的顶点A的初始位置记为P,当点A第一次回到P的位置时走过的路径的长度为______.7.已知点集A={(x,y)∣|x−y2|+|x2−y|⩽1},点集B={(x,y)∣(x−12)2+(y−12)2⩽32},求证:A⫋B.
参考答案
1.(1)(2)(4).
(1) 所有纵坐标为整数的点为(kπ,0),(2kπ+π2,1),(2kπ−π2,−1),其中k∈Z,因此f(x)只通过一个格点(0,0),为1阶格点函数.
(2) 通过格点(1,3),且当x为除1以外的整数时,f(x)∉Q,因此f(x)为1阶格点函数.
(3) 当x⩽0且x∈Z时,f(x)∈Z,于是f(x)通过无数个格点.
(4) 通过格点(1,0),当x⩾2且x∈Z时,x不可能是0.6的整数次幂.
2.(2)(4).
(1) f(x)=C都是−1−伴随函数.
(4) 由于f(x+12)+12f(x)=0,于是在任意区间[x,x+12]上函数f(x)必有零点.
3.[√2,5√24].
设M(4+2cosθ,2sinθ),则一方面四边形MPAQ的面积S=2⋅12⋅|AP|⋅|MP|=√|MA|2−1=2√7+5cosθ,
4.15122015.
不妨设A(1,0),B(cosα,sinα),C(cosβ,sinβ),其中α=x⋅2π2016,β=y⋅2π2016,x,y⩽2015,x,y∈N∗且x≠y.总样本空间为2015×2014,且根据题意,有|→OA+→OB+→OC|2−1=(1+cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2−1=2+2cosα+2cosβ+2cos(α−β)=4cosα+β2cosα−β2+4cos2α−β2=4cosα−β2[cosα+β2+cosα−β2]=8cosα−β2cosα2cosβ2⩾0.
情形二 π<α,β<2π,此时1009⩽x,y⩽2015,共有A21007个基本事件符合题意.
情形三 α=π或β=π,此时x=1008或y=1008,共有4028个基本事件符合题意.
情形四 α和β分别位于(0,π)和(π,2π),此时|α−β|>π,即|x−y|⩾1008,共有2C21008个基本事件符合题意.
综上所述,所求的概率为2A21007+2C21008+40282015×2014=15122015.
5.设迭代函数f(x)=12(1−x2),那么函数的不动点为x=√2−1,一个保值区间是[0,12].
考虑到0<a1<1,于是0<a2<12,从而38<a3<12.
由不动点改造递推数列得|an+1−(√2−1)|=12|an−(√2−1)|⋅|an+√2−1|<12|an−(√2−1)|,
6.每次转动的角均为π6,而半径分别为1,√2,1,0,⋯,因此所求的路径总长为3⋅π6⋅(1+√2+1)=(2+√2)π2.
7.点集B即圆x2+y2−x−y=1的内部(包含边界),而1⩾|x−y2|+|x2−y|⩾|(x−y2)−(x2−y)|=|x2+y2−x−y|,
另一方面,点P(12,√32+12)∈B,但点P∉A,于是A≠B.
综上所述,A⫋B.