练习题集[86]基础练习

1.(2009年北京市崇文区一模)直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点.如果函数f(x)的图象恰好通过k(kN)个格点,则称f(x)k阶格点函数.下列函数:
(1) f(x)=sinx
(2) f(x)=π(x1)2+3
(3) f(x)=(13)x
(4) f(x)=log0.6x
其中是1阶格点函数的有______.

2.(2012年北京市昌平区一模)若对于定义在R上的函数f(x),其函数图象是连续不断的,且存在常数λ(λR)使得f(x+λ)+λf(x)=0对于任意实数x都成立,则称f(x)是一个λ伴随函数,有下列关于λ伴随函数的结论:
(1) f(x)=0是常数函数中唯一一个λ伴随函数;
(2) f(x)=x不是λ伴随函数;
(3) f(x)=x2是一个λ伴随函数;
(4) 12伴随函数至少有一个零点.
其中正确命题的序号是______ .

3.设圆A:(x+1)2+y2=1,圆B:(x4)2+y2=4,过圆B上一点M作圆A的切线MP,MQ,两条切线分别交y轴于C,D,则|CD|的取值范围是______.

4.正2016边形内接于单位圆O,从其2016个顶点中任选3个,设为A,B,C,则OA+OB+OC的长度不小于1的概率为______.

5.已知数列{an}满足2an+1=1a2n,且0<a1<1.求证:当n3时,|1an(2+1)|<122n

6.圆O的半径为1P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形ABCD沿圆周逆时针滚动.假设将正方形的顶点A的初始位置记为P,当点A第一次回到P的位置时走过的路径的长度为______.%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-12-%e4%b8%8a%e5%8d%889-52-387.已知点集A={(x,y)|xy2|+|x2y|1},点集B={(x,y)(x12)2+(y12)232},求证:AB


参考答案

1.(1)(2)(4).

(1) 所有纵坐标为整数的点为(kπ,0)(2kπ+π2,1)(2kππ2,1),其中kZ,因此f(x)只通过一个格点(0,0),为1阶格点函数.

(2) 通过格点(1,3),且当x为除1以外的整数时,f(x)Q,因此f(x)1阶格点函数.

(3) 当x0xZ时,f(x)Z,于是f(x)通过无数个格点.

(4) 通过格点(1,0),当x2xZ时,x不可能是0.6的整数次幂.

2.(2)(4).

(1) f(x)=C都是1伴随函数.

(4) 由于f(x+12)+12f(x)=0,于是在任意区间[x,x+12]上函数f(x)必有零点.

3.[2,524]

M(4+2cosθ,2sinθ),则一方面四边形MPAQ的面积S=212|AP||MP|=|MA|21=27+5cosθ,

另一方面又有S=SCPAO+SQDOA+SCDM=|OA||CO|+|OA||DO|+12|CD||yM|=(3+cosθ)|CD|,
于是|CD|=27+5cosθ3+cosθ,
t=7+5cosθt[2,23],则有|CD|=10t8+t2=10t+8t,
其取值范围是[2,524]

4.15122015

不妨设A(1,0)B(cosα,sinα)C(cosβ,sinβ),其中α=x2π2016β=y2π2016x,y2015x,yNxy.总样本空间为2015×2014,且根据题意,有|OA+OB+OC|21=(1+cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)21=2+2cosα+2cosβ+2cos(αβ)=4cosα+β2cosαβ2+4cos2αβ2=4cosαβ2[cosα+β2+cosαβ2]=8cosαβ2cosα2cosβ20.

情形一 0<α,β<π,此时1x,y1007,共有A21007个基本事件符合题意.

情形二 π<α,β<2π,此时1009x,y2015,共有A21007个基本事件符合题意.

情形三 α=πβ=π,此时x=1008y=1008,共有4028个基本事件符合题意.

情形四 αβ分别位于(0,π)(π,2π),此时|αβ|>π,即|xy|1008,共有2C21008个基本事件符合题意.

综上所述,所求的概率为2A21007+2C21008+40282015×2014=15122015.

5.设迭代函数f(x)=12(1x2),那么函数的不动点为x=21,一个保值区间是[0,12]
考虑到0<a1<1,于是0<a2<12,从而38<a3<12
由不动点改造递推数列得|an+1(21)|=12|an(21)||an+21|<12|an(21)|,

又当n=3时,|a3(21)|<18,于是当n3时,有|an(21)|<12n.
而欲证明不等式即|(21)anan(21)|<122n,
于是只需要证明|an(21)|>112,
也即an>2+112,n3.
事实上,当n3时,有an>38>2+112,
于是原命题得证.

6.每次转动的角均为π6,而半径分别为1,2,1,0,,因此所求的路径总长为3π6(1+2+1)=(2+2)π2.

7.点集B即圆x2+y2xy=1的内部(包含边界),而1|xy2|+|x2y||(xy2)(x2y)|=|x2+y2xy|,

于是AB

另一方面,点P(12,32+12)B,但点PA,于是AB

综上所述,AB

 事实上,点集A如图所示.%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-10-17-%e4%b8%8b%e5%8d%883-08-53

此条目发表在练习题集分类目录。将固定链接加入收藏夹。

发表回复