练习题[15]创新能力培养基础练习

1、设函数$y=f(x)$的定义域为$D$．如果存在非零常数$T$，对任意$x\in D$，都有$f(x+T)=T\cdot f(x)$，则称函数$y=f(x)$是“似周期函数”．非零常数$T$为函数$y=f(x)$的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

① 如果“似周期函数”$y=f(x)$的“似周期”为$-1$，那么它是以$2$为周期的周期函数；

② 函数$f(x)=x$是“似周期函数”；

③ 函数$f(x)=2^{-x}$是“似周期函数”；

④ 如果函数$f(x)=\cos{2\omega x}$是“似周期函数”，那么$\omega =k\pi,k\in\mathcal Z$．

其中，真命题的序号是_______．

2、已知圆$C$的圆心$C$在抛物线$x^2=4y$上移动且过$A(0,2)$．若圆$C$与$x$轴交于$M$、$N$两点，当$\dfrac{AM}{AN}+\dfrac{AN}{AM}$取最大值时，圆$C$的方程为_______．

3、已知自然数$a,b,c,d,e$满足$1\leqslant a<b<c<d<e\leqslant 100$，则$a+\dfrac bc+\dfrac de$取得最小值时，$a+b+c+d+e=$_______．

4、在直角三角形$ABC$中，$C$为直角，$AC=3$，$BC=4$，线段$EF$的端点$E$、$F$分别在边$BC$和$BA$上，且分三角形$ABC$为面积相等的两个部分，则线段$EF$长度的最小值为_______．

5、已知三个正数$a,b,c$满足$a\leqslant b+c\leqslant 3a$，$3b^2\leqslant a(a+c)\leqslant 5b^2$，则$\dfrac{b-2c}{a}$的最小值是_______．

6、已知$a,b$为正实数，且$a+b=2$，则$\dfrac{a^2+2}a+\dfrac{b^2}{b+1}$的最小值为_______．

7、已知函数$f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x-1}$，$g(x)=\dfrac{k}{x}$（$k\in \mathcal N^*$），若对任意的$c>1$，存在实数满足$0<a<b<c$，使得$f(c)=f(a)=g(b)$，则$k$的最大值为_______．

参考答案

 1、①③．

2、$x^2+y^2\pm 4\sqrt 2x-4y+4=0$．提示：注意$\dfrac{AM}{AN}$越大，$\dfrac{AM}{AN}+\dfrac{AN}{AM}$就越大．

3、$132$．    提示：$a+b+c+d+e=1+2+14+15+100$．

4、$2$．    提示：利用余弦定理．

5、$-\dfrac{18}5$．    提示：齐次化后线性规划．

6、$2+\dfrac{2\sqrt 2}{3}$．    提示：换元$b+1=t$．

7、$3$．     提示：$k$由$\forall x>1,\dfrac{1+\ln x}{x-1}>\dfrac{k}{x}$限定．