练习题集[63]基础练习

1.在直角ABC中,C为直角,BDC=2BCDAB=8CD=3,则ADBD=______.

屏幕快照 2016-07-06 下午1.41.51

2.已知(1+x)10=a0+a1x+a2x2++a10x10,则a0+a12+a23++a1011=_______.

3.已知(1x)n=a0+a1x+a2x2++anxn,求nk=01ak

4.求证:nk=11kek<lnee1

5.求椭圆x24+y2=1上的点P到点A(1,2)的距离PA的最大值与最小值.

6.已知正实数a,b使得不等式1x+1+x2bxa对任意x[0,1]都成立,求当a取最小值时b的最大值.

7.已知x1,x2,x3,x4是互异的4个正实数,且满足(x1+x2+x3+x4)(1x1+1x2+1x3+1x4)<17,求证:从x1,x2,x3,x4中任取3个数作边长,可以作出4个不同的三角形.


 

参考答案

1.答案 12
提示 可以运用正弦定理,也可以考虑ABC的外接圆,利用圆的几何性质与相交弦定理解决.

2.答案 204711
 根据题意,有x0(1+x)10dx=a0x+a12x2+a23x3++a1011x11,x0(1+x)10dx=111(1+x)11111,因此令x=1,即得a0+a12+a23++a1011=211111=204711.

3.答案 nk=01ak={0,n2,2n+2n+2,n2.
 根据题意,有ak=(1)kCkn=(1)kn!(nk)!k!,于是nk=01ak=n!(n1)!1!+(n2)!2!++(1)n11!(n1)!+(1)nn!n!,n为奇数时,显然有nk=01ak=0

n为偶数时,考虑到[n!0!(n1)!1!+(n2)!2!+1!(n1)!+0!n!](n+2)=[(n+1)!+n!1!][n!+(n1)!2!]+[2!(n1)!+1!n!]+[1!n!+0!(n+1)!]=2(n+1)!,于是nk=01ak=2(n+1)!n!(n+2)=2n+2n+2.

综上所述,有nk=01ak={0,n2,2n+2n+2,n2. 拆分n+2=(nk+1)+(k+1)(k=0,1,2,,n)后达到裂项的效果是解决问题的关键.

4.考虑级数n=1xnn=x0(n=1xnn)dx=x0(n=1xn1)dx=x011xdx=ln11x,x=1e即得.

5.设P(2cosθ,sinθ),则PA2=(2cosθ1)2+(sinθ2)2=3cos2θ4(sinθ+cosθ)+6=32(1+cos2θ)42sin(θ+π4)+6=32sin2t42sint+152=sint(3cost42)+152其中t=θ+π4.接下来的关键是计算函数f(x)=(1x2)(3x42)2,x[1,1]的最大值.函数f(x)的导函数f(x)=2(3x42)(6x242x3),于是当x=22266时,函数f(x)取得区间[1,1]上的最大值,为f(22266)=673+2081336,进而所求距离PA的最大值为673+208136+152,最小值为673+208136+152

拓展 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点P到定点A(x0,y0)的距离的最值有以下三种情形是比较好求的.

(1) x0y0=0,此时化为二次函数最值问题;

(2) x20+y20=(a+b)2,此时最小值为b2x20+a2y20a+b

(3) ax0by0=0,此时可以通过三角换元结合导数求出最大值和最小值.

本题是情形(3)的一个特例.

6.设f(x)=21x1+xg(x)=f(x)bxa,则题意即不等式g(x)0对任意x[0,1]成立.考虑到函数f(x)的导函数f(x)=12(1x)1212(1+x)12,其二阶导函数f(x)=14(1x)32+14(1+x)32,其三阶导函数[f(x)]=38(1x)5238(1+x)52,因此[f(x)],f(x),f(x),f(x)均在区间[0,1]上单调递增,且f(0)=f(0)=0f(0)=12

情形一 0<a<1

此时g(x)=f(x)abxa1g(0)=0,当x0+时,g(x),与题意不符.

情形二 1a<2

此时g(x)=f(x)a(a1)bxa2g(0)=0,当x0+时,g(x),与题意不符.

情形三 a=2

此时g(x)=f(x)2b,考虑到f(0)=12,于是b的最大值为14

综上所述,当a取最小值2时,b的最大值为14

7.考虑到变元的对称性,问题的实质在于证明x1+x2>x3.接下来用反证法证明如下.

假设x3x1+x2.由于LHS=(1x1+1x2+1x3)x4+(x1+x2+x3)1x4+(1x1+1x2+1x3)(x1+x2+x3)+12(1x1+1x2+1x3)(x1+x2+x3)+(1x1+1x2+1x3)(x1+x2+x3)+1=((1x1+1x2+1x3)(x1+x2+x3)+1)2.(1x1+1x2+1x3)(x1+x2+x3)=(x1+x2)(x3x1x2+1x3)+x1x2+x2x1+3,由于在区间[x1x2,+)上,函数f(x)=xx1x2+1x单调递增,于是(1x1+1x2+1x3)(x1+x2+x3)2(x1+x2)(1x1+1x2+1x1+x2)=2(3+x1x2+x2x1)10,这样就得到了(x1+x2+x3+x4)(1x1+1x2+1x3+1x4)(10+1)2=11+210>17,矛盾.

因此x1+x2>x3.同理可得,x1,x2,x3,x4中任意两个数之和都大于其余的两个数,因此从x1,x2,x3,x4中任取3个数作边长,可以作出4个不同的三角形.

 恰当的冻结变量,将问题分解为若干子问题加以解决是本题的关键.

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