练习题集[62]基础练习

1、设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与x轴交于点C,过点F作它的弦AB,若CBF=90,则AFBF=_______.

2、已知函数f(x)的图象是折线(1,2)(2,1)(3,2)(4,1)(5,2),设直线y=kx+b与函数f(x)的图象恰有四个不同的公共点,则k的取值范围是_______.

3、设函数f(x)=x2(0x1),记H(a,b)为函数f(x)的图象上的点到直线y=ax+b距离的最大值,则H(a,b)的最小值是_______.

4、正方体ABCDA1B1C1D1中,M为棱AA1的中点.N点在正方体表面上运动,且NAC1=MAC1,则N点的轨迹由_______(填圆弧,椭圆弧,双曲线弧,抛物线弧,线段及段数)组成.

5、已知对任意满足b<0<a(4a1)(2b+1)=9a,b,均有(2ab)x2abx60成立,则正数x的取值范围是_______.

6、已知椭圆x24+y23=1的右焦点为FA,B是椭圆上的两个动点,且FAFBM是弦AB的中点,求FM的取值范围.

7、已知a1=35an+1=3an2an+1(nN).求证:a1+a2++an>n2n+1.


参考答案

1、2p

提示    利用抛物线的几何平均性质.

2、(13,13)

3、216

提示    考虑点(0,0),(12,14),(1,1)到直线的距离,最好的直线为y=x18

4、3段椭圆弧.

提示    若母线与轴的夹角为θ,截面与轴的夹角为φ,则解得的圆锥曲线离心率为cosφcosθ

5、[1,+)

提示    条件即2ab=4(ab+1),于是题中不等式即ab4x2+64x2+x,ab的最大值为2,因此可解得x1

6、不妨设终边经过点A,B的角分别为θθ+π2,则FM=12AB=12FA2+FB2=12(32+cosθ)2+(32sinθ)2,x=cosθsinθx[2,2],则FM=34x+9x2+4x+7,f(x)=4x+9(x2+4x+7)2,f(x)=4(3x2+13x+11)(x2+4x+7)3,于是当x=2时,FM取得最小值6237;当x=13+376时,FM取得最大值183+6377337

因此FM的取值范围是[6237,183+6377337]

7、注意到n2n+1=nnn+1,因此只需要证明(1a1)+(1a2)++(1an)<nn+1.

容易证明数列{an}单调递增且35an<1,注意到1an+11an=12an+1511,因此(1a1)+(1a2)++(1an)<2/515/11=1115,因此当n3时,有(1a1)+(1a2)++(1an)<1115<34nn+1,而当n=1,2时容易验证命题成立.

综上所述,命题得证.

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