练习题集[62]基础练习

1、设抛物线$y^2=2px$($p>0$)的焦点为$F$，其准线与$x$轴交于点$C$，过点$F$作它的弦$AB$，若$\angle CBF=90^\circ$，则$AF-BF=$_______．

2、已知函数$f(x)$的图象是折线$(1,2)--(2,1)--(3,2)--(4,1)--(5,2)$，设直线$y=kx+b$与函数$f(x)$的图象恰有四个不同的公共点，则$k$的取值范围是_______．

3、设函数$f(x)=x^2$($0\leqslant x\leqslant 1$)，记$H(a,b)$为函数$f(x)$的图象上的点到直线$y=ax+b$距离的最大值，则$H(a,b)$的最小值是_______．

4、正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$M$为棱$AA_1$的中点．$N$点在正方体表面上运动，且$\angle NAC_1=\angle MAC_1$，则$N$点的轨迹由_______（填圆弧，椭圆弧，双曲线弧，抛物线弧，线段及段数）组成．

5、已知对任意满足$b<0<a$且$(4a-1)(2b+1)=-9$的$a,b$，均有$(2a-b)x^2-abx-6\geqslant 0$成立，则正数$x$的取值范围是_______．

6、已知椭圆$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$的右焦点为$F$，$A,B$是椭圆上的两个动点，且$FA\perp FB$，$M$是弦$AB$的中点，求$FM$的取值范围．

7、已知$a_1=\dfrac 35$，$a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{2a_n+1}$($n\in\mathcal N^*$)．求证：

$$a_1+a_2+\cdots+a_n>\dfrac{n^2}{n+1}.$$

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参考答案

1、$2p$

提示    利用抛物线的几何平均性质．

2、$\left(-\dfrac 13,\dfrac 13\right)$

3、$\dfrac{\sqrt 2}{16}$

提示    考虑点$(0,0),\left(\dfrac 12,\dfrac 14\right),(1,1)$到直线的距离，最好的直线为$y=x-\dfrac 18$．

4、$3$段椭圆弧．

提示    若母线与轴的夹角为$\theta$，截面与轴的夹角为$\varphi$，则解得的圆锥曲线离心率为$\dfrac{\cos \varphi}{\cos \theta}$．

5、$[1,+\infty)$

提示    条件即$2a-b=-4(ab+1)$，于是题中不等式即

$$ab\leqslant -\dfrac{4x^2+6}{4x^2+x},$$ 而$ab$的最大值为$-2$，因此可解得$x\geqslant 1$．

6、不妨设终边经过点$A,B$的角分别为$\theta$和$\theta+\dfrac{\pi}2$，则

$$FM=\dfrac 12AB=\dfrac 12\sqrt{FA^2+FB^2}=\dfrac 12\sqrt{\left(\dfrac 3{2+\cos\theta}\right)^2+\left(\dfrac 3{2-\sin\theta}\right)^2},$$ 令$x=\cos \theta-\sin \theta$，$x\in[-\sqrt 2,\sqrt 2]$，则 $$FM=\dfrac{3\sqrt{4x+9}}{x^2+4x+7},$$ 设 $$f(x)=\dfrac{4x+9}{(x^2+4x+7)^2},$$ 则 $$f'(x)=-\dfrac{4(3x^2+13x+11)}{(x^2+4x+7)^3},$$ 于是当$x=\sqrt 2$时，$FM$取得最小值$\dfrac{6\sqrt 2-3}7$；当$x=\dfrac{-13+\sqrt{37}}6$时，$FM$取得最大值$\dfrac{18\sqrt{3+6\sqrt{37}}}{73-\sqrt{37}}$．

因此$FM$的取值范围是$\left[\dfrac{6\sqrt 2-3}7,\dfrac{18\sqrt{3+6\sqrt{37}}}{73-\sqrt{37}}\right]$．

7、注意到

$$\dfrac{n^2}{n+1}=n-\dfrac{n}{n+1},$$ 因此只需要证明 $$(1-a_1)+(1-a_2)+\cdots+(1-a_n)<\dfrac n{n+1}.$$

容易证明数列$\{a_n\}$单调递增且$\dfrac 35\leqslant a_n<1$，注意到

$$\dfrac{1-a_{n+1}}{1-a_n}=\dfrac{1}{2a_n+1}\leqslant \dfrac{5}{11},$$ 因此 $$(1-a_1)+(1-a_2)+\cdots+(1-a_n)<\dfrac{2/5}{1-5/11}=\dfrac{11}{15},$$ 因此当$n\geqslant 3$时，有 $$(1-a_1)+(1-a_2)+\cdots+(1-a_n)<\dfrac{11}{15}<\dfrac 34\leqslant \dfrac{n}{n+1},$$ 而当$n=1,2$时容易验证命题成立．

综上所述，命题得证．