1、设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与x轴交于点C,过点F作它的弦AB,若∠CBF=90∘,则AF−BF=_______.
2、已知函数f(x)的图象是折线(1,2)−−(2,1)−−(3,2)−−(4,1)−−(5,2),设直线y=kx+b与函数f(x)的图象恰有四个不同的公共点,则k的取值范围是_______.
3、设函数f(x)=x2(0⩽x⩽1),记H(a,b)为函数f(x)的图象上的点到直线y=ax+b距离的最大值,则H(a,b)的最小值是_______.
4、正方体ABCD−A1B1C1D1中,M为棱AA1的中点.N点在正方体表面上运动,且∠NAC1=∠MAC1,则N点的轨迹由_______(填圆弧,椭圆弧,双曲线弧,抛物线弧,线段及段数)组成.
5、已知对任意满足b<0<a且(4a−1)(2b+1)=−9的a,b,均有(2a−b)x2−abx−6⩾0成立,则正数x的取值范围是_______.
6、已知椭圆x24+y23=1的右焦点为F,A,B是椭圆上的两个动点,且FA⊥FB,M是弦AB的中点,求FM的取值范围.
7、已知a1=35,an+1=3an2an+1(n∈N∗).求证:a1+a2+⋯+an>n2n+1.
参考答案
1、2p
提示 利用抛物线的几何平均性质.
2、(−13,13)
3、√216
提示 考虑点(0,0),(12,14),(1,1)到直线的距离,最好的直线为y=x−18.
4、3段椭圆弧.
提示 若母线与轴的夹角为θ,截面与轴的夹角为φ,则解得的圆锥曲线离心率为cosφcosθ.
5、[1,+∞)
提示 条件即2a−b=−4(ab+1),于是题中不等式即ab⩽−4x2+64x2+x,而ab的最大值为−2,因此可解得x⩾1.
6、不妨设终边经过点A,B的角分别为θ和θ+π2,则FM=12AB=12√FA2+FB2=12√(32+cosθ)2+(32−sinθ)2,令x=cosθ−sinθ,x∈[−√2,√2],则FM=3√4x+9x2+4x+7,设f(x)=4x+9(x2+4x+7)2,则f′(x)=−4(3x2+13x+11)(x2+4x+7)3,于是当x=√2时,FM取得最小值6√2−37;当x=−13+√376时,FM取得最大值18√3+6√3773−√37.
因此FM的取值范围是[6√2−37,18√3+6√3773−√37].
7、注意到n2n+1=n−nn+1,因此只需要证明(1−a1)+(1−a2)+⋯+(1−an)<nn+1.
容易证明数列{an}单调递增且35⩽an<1,注意到1−an+11−an=12an+1⩽511,因此(1−a1)+(1−a2)+⋯+(1−an)<2/51−5/11=1115,因此当n⩾3时,有(1−a1)+(1−a2)+⋯+(1−an)<1115<34⩽nn+1,而当n=1,2时容易验证命题成立.
综上所述,命题得证.