1、若a,b,x,y∈R,3a+4b=12,(x−1)2+y2=2,则|x−a|+|y−b|的最小值是_______.
2、已知f(x)是定义在[a,b]上的函数,如果存在常数M>0,对区间[a,b]的任意划分:a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b,和式|f(x0)−f(x1)|+|f(x1)−f(x2)|+⋯+|f(xn−1)−f(xn)|⩽M恒成立,则称f(x)为[a,b]的“有限振荡函数”.现有下列四个命题:
① 函数f(x)=sinx+cosx是[−π2,0]上的“有限振荡函数”;
② 函数f(x)={0,x=0,xcosπ2x,0<x⩽1,是[0,1]上的“有限振荡函数”;
③ 若函数f(x),g(x)都是[a,b]上的“有限振荡函数”,则f(x)+g(x)也是[a,b]上的“有限振荡函数”;
④ 存在常数k>0,使得对任意x1,x2∈[a,b],均有|f(x1)−f(x2)|⩽k|x1−x2|,则f(x)为[a,b]上的“有限振荡函数”,反之亦然.
其中所有正确的命题是_______.
3、函数f(x)=eax−1alnx存在零点,则a的取值范围是_______.
4、设[x]为x的整数部分,则[102000010100+3]的个位数字是_______.
5、已知α,β,γ均为锐角,且cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证:3π4<α+β+γ<π.
6、求证:x2ex−lnx>1.(参考数据:ln2≈0.693,√e≈1.649.)
7、已知x>0,求√11+x2+2√x1+x的最大值.
参考答案
1、9−5√24
2、①③④
3、(−∞,0)∪(0,e−1]
4、3
提示 [102000010100+3]=(10100)200−320010100+3.
5、提示 构造长方体的对角线,在三面角中证明.如图:
取长方体的中心O,不妨设∠ABD′=α,∠CBD′=β,∠B′BD′=γ,连接BD,则有α=∠D′BA>∠DBA,β=∠D′BC>∠DBC,于是有α+β>π2,从而不等式左边得证;
由OA=OC′=OB=OD′=OC知∠AOD′=2α,∠COD′=2β,∠AOC=2γ.事实上,O为三棱锥O−ACD′的顶点,且O在底面ACD′上的投影为底面外心,与证明不等式左边的方法类似可以得到2α+2β+2γ<2π,不等式右边得证.
代数方法(由meiyun提供)
由题中等式得cos2γ=−12(cos2α+cos2β)=−cos(α+β)cos(α−β)>0,从而有α+β>π2,α,β,γ位置关系一样,从而得到不等式左边.
下面用反证法证明不等式右边:
不妨设α⩾β⩾γ,若α+β+γ⩾π,则有0<π−α−β⩽γ,从而有cos2γ=cos(π−α−β)cos(α−β)⩾cosγcos(α−β),于是有cosγ>cos(α−β),从而γ<α−β,于是π⩽α+β+γ<2α,与α为锐角矛盾.
6、由于在x>0时,(x2ex)′=ex(x2+2x)单调递增,而(lnx)′=1x单调递减,于是x2ex⩾5√e4(x−12)+√e4,且lnx⩽2(x−12)+ln12,两式相减可得x2ex−lnx⩾(5√e4−2)x−3√e8+1+ln2,由于5√e4−2>0,于是x2ex−lnx>−3√e8+1+ln2>1.07>1,因此原不等式得证.
另法
由于ex⩾ex,于是x2ex−lnx⩾ex3−lnx,记右侧函数为f(x),则f′(x)=3ex3−1x,于是f(x)的最小值为f((3e)−13)=23+13ln3>1,因此原不等式得证.
7、设所求代数式为f(x),则f(x)的导函数f′(x)=(1+x2)32−(x+x2)32√x⋅(1+x)32⋅(1+x2)32,于是函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,因此所求最大值为f(1)=3√2.