练习题集[61]基础练习

1、若a,b,x,yR3a+4b=12(x1)2+y2=2,则|xa|+|yb|的最小值是_______.

2、已知f(x)是定义在[a,b]上的函数,如果存在常数M>0,对区间[a,b]的任意划分:a=x0<x1<x2<<xn1<xn=b,和式|f(x0)f(x1)|+|f(x1)f(x2)|++|f(xn1)f(xn)|M恒成立,则称f(x)[a,b]的“有限振荡函数”.现有下列四个命题:

①  函数f(x)=sinx+cosx[π2,0]上的“有限振荡函数”;

②  函数f(x)={0,x=0,xcosπ2x,0<x1,[0,1]上的“有限振荡函数”;

③  若函数f(x),g(x)都是[a,b]上的“有限振荡函数”,则f(x)+g(x)也是[a,b]上的“有限振荡函数”;

④  存在常数k>0,使得对任意x1,x2[a,b],均有|f(x1)f(x2)|k|x1x2|,f(x)[a,b]上的“有限振荡函数”,反之亦然.

其中所有正确的命题是_______.

3、函数f(x)=eax1alnx存在零点,则a的取值范围是_______.

4、设[x]x的整数部分,则[102000010100+3]的个位数字是_______.

5、已知α,β,γ均为锐角,且cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证:3π4<α+β+γ<π

6、求证:x2exlnx>1.(参考数据:ln20.693e1.649.)

7、已知x>0,求11+x2+2x1+x的最大值.


参考答案

1、9524

2、①③④

3、(,0)(0,e1]

4、3

提示    [102000010100+3]=(10100)200320010100+3

5、提示    构造长方体的对角线,在三面角中证明.如图:

屏幕快照 2016-06-15 下午4.55.21

取长方体的中心O,不妨设ABD=α,CBD=β,BBD=γ,连接BD,则有α=DBA>DBA,β=DBC>DBC,于是有α+β>π2,从而不等式左边得证;

OA=OC=OB=OD=OCAOD=2α,COD=2β,AOC=2γ.事实上,O为三棱锥OACD的顶点,且O在底面ACD上的投影为底面外心,与证明不等式左边的方法类似可以得到2α+2β+2γ<2π,不等式右边得证.

代数方法(由meiyun提供)

由题中等式得cos2γ=12(cos2α+cos2β)=cos(α+β)cos(αβ)>0,从而有α+β>π2,α,β,γ位置关系一样,从而得到不等式左边.

下面用反证法证明不等式右边:

不妨设αβγ,若α+β+γπ,则有0<παβγ,从而有cos2γ=cos(παβ)cos(αβ)cosγcos(αβ),于是有cosγ>cos(αβ),从而γ<αβ,于是πα+β+γ<2α,α为锐角矛盾.

6、由于在x>0时,(x2ex)=ex(x2+2x)单调递增,而(lnx)=1x单调递减,于是x2ex5e4(x12)+e4,lnx2(x12)+ln12,两式相减可得x2exlnx(5e42)x3e8+1+ln2,由于5e42>0,于是x2exlnx>3e8+1+ln2>1.07>1,因此原不等式得证.

另法

由于exex,于是x2exlnxex3lnx,记右侧函数为f(x),则f(x)=3ex31x,于是f(x)的最小值为f((3e)13)=23+13ln3>1,因此原不等式得证.

7、设所求代数式为f(x),则f(x)的导函数f(x)=(1+x2)32(x+x2)32x(1+x)32(1+x2)32,于是函数f(x)(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,因此所求最大值为f(1)=32.

此条目发表在练习题集分类目录。将固定链接加入收藏夹。

发表回复