练习题集[53]基础练习

1、椭圆$C$的两个焦点分别为$F_1,F_2$，椭圆$C$上恰好有$6$个不同的点$P$使得$\triangle PF_1F_2$为等腰三角形，则椭圆$C$的离心率的取值范围是_______．

2、已知$P$是以$AB$为直径的圆$O$上一点，且$B$是线段$AC$的中点，$AB=10$．以$CP$为斜边作直角三角形$QPC$，且$\tan\angle QPC=\dfrac 34$，则线段$OQ$的最小值是_______．

3、已知函数$f(x)=x^3+bx+c$有两个零点$n,m$且满足$f'(m)=0$，$0<m-n<1$．则函数 $$g(x)=\dfrac 13x^3-\dfrac 32x^2+(b+2)x+(c-b+n)\ln x+d$$ 在$(n+1,m+1)$上（        ）

A．有且只有一个零点

B．至多只有一个零点

C．可能有两个零点

D．以上说法均不正确

4、函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a>0,b,c\in\mathcal R$)的图象过$(1,0)$，且在区间$[0,2]$上的最大值与最小值之和大于$\dfrac 32a$，则$\dfrac ba$的取值范围是_______．

5、在$\triangle ABC$中，$AC=2$，$D$为$AC$的中点，$\angle A=\angle CBD=2\angle ABD$，则$\triangle ABC$的面积为_______．

6、在平面直角坐标系$xOy$中，圆$M:(x-a)^2+(y+a-3)^2=1$($a>0$)，点$N$为圆$M$上任意一点．若以$N$为圆心，$ON$为半径的圆与圆$M$至多只有一个公共点，则$a$的最小值为_______．

7、已知$x,y,z>0$且$xyz=\dfrac 12$，$x^2+y^2+z^2\leqslant 2$，求$x^4+y^4+z^4$的最大值．

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参考答案

1、$\left(\dfrac 13,\dfrac 12\right)\cup\left(\dfrac 12,1\right)$

2、$9$

提示    $Q$在圆上运动，设圆心为$O'$，则$\triangle POC$与$\triangle QO'C$旋转相似．

3、B

提示   $n=-2m$，$b=-3m^2$，$c=2m^3$，$g'(n+1)=0$，故$g'(x)$可以因式分解　 $$g'(x)=\dfrac {(x+2m-1)(x-m)(x-m-2)}{x},$$ 而$x\in (1-2m,m+1)$，所以$g(x)$单调递减．

4、$(-\infty,-4+\sqrt 2)\cup (-\sqrt 2,+\infty)$

5、$\dfrac{\sqrt 3+1}2$

6、$3$

提示    圆心$M$在直线$y=-x+3$上运动，当两个圆内切时为临界状态．

7、显然，当$x^2+y^2+z^2=2$时原式取得最大值．此时 $$y^2+z^2=2-x^2\geqslant 2yz=\dfrac 1x,$$ 从而解得 $$\dfrac{\sqrt 5-1}2\leqslant x\leqslant 1,$$ 不妨设$x\geqslant y\geqslant z$，则有 $$\sqrt{\dfrac 23}\leqslant x\leqslant 1.$$

另一方面，有 $$x^4+y^4+z^4=x^4+(y^2+z^2)^2-2y^2z^2=2x^4-4x^2+4-\dfrac{1}{2x^2},$$ 设$RHS=f(x)$，则其导函数 $$f'(x)=\dfrac{8x^6-8x^4+1}{x^3},$$ 于是分子部分的导函数为 $$16x^3(3x^2-2),$$ 不难推得函数$f(x)$在$\left[\sqrt{\dfrac 23},1\right]$上先递减再递增，因此函数$f(x)$的最大值在区间端点处取得，不难计算得当$x=1$时，$f(x)$最大，为$\dfrac 32$．

综上，当$(x,y,z)=\left(1,\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$或其轮换时，$x^4+y^4+z^4$取得最大值为$\dfrac 32$．