练习题集[56]基础练习

1、函数$f(x)=x{\log_2}x+(1-x){\log_2}(1-x)$的最小值是_______．

2、已知坐标平面上的凸四边形$ABCD$满足$\overrightarrow{AC}=(1,\sqrt 3)$，$\overrightarrow{BD}=(-\sqrt 3,1)$，那么$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}$的取值范围是_______．

3、已知点$F(1,0)$是抛物线$E$的焦点，$M$是抛物线的准线与对称轴的交点，若过点$F$的直线与抛物线交于$A,B$两点，且$\tan\angle AMB=2\sqrt 2$，则弦$AB$的长度为_______．

4、正整数$a,b$满足$1<a<b$，若关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=-2x+4033,\\ y=|x-1|+|x-a|+|x-b|,\end{cases}$有且仅有一个实数解，则$a$的最大值为_______．

5、已知$ax^2-2ax<\dfrac 12x^2-\ln x$恒成立，则$a$的取值范围是_______．

6、已知$A,B,C$是三角形$ABC$的三个内角，则$3\sin A+4\sin B+18\sin C$的最大值是_______．

7、已知$x_1,x_2$是函数$f(x)=x\ln x-\dfrac 12ax^2-x$的两个极值点，且$x_1<x_2$，若不等式$1+\lambda <\ln x_1+\lambda \ln x_2$恒成立，求$\lambda$的取值范围．

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参考答案

1、$-1$

2、$[-2,0)$

3、$8$

提示    注意$\angle AMB$被抛物线的对称轴平分．

4、$2016$

5、$\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right]$

6、$\dfrac{35\sqrt 7}4$．

注    一般的，对$A+B+C=\pi$，$x,y,z>0$，有克雷姆金(Klamkin）不等式：

$$x\sin A+y\sin B+z\sin C\leqslant \dfrac 12(xy+yz+zx)\sqrt{\dfrac{x+y+z}{xyz}}.$$

7、$\lambda\geqslant 1$．