练习题集[55]基础练习

1、已知f(x)=|x+1|+|x+2|++|x+2016|+|x1|+|x2|++|x2016|(xR),且集合M={a|f(a2a2)=f(a+1)},则集合N={f(a)|aM}的元素个数为_______.

2、定义在(2,2)上的奇函数f(x)恰有3个零点,当x(0,2)时,f(x)=xlnxa(x1),则a的取值范围是_______.

3、函数y=|x21|与函数y=kx2(k+2)x+2的图象恰有两个不同的公共点,则k的取值范围是_______.

4、已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(1)nan+12n+2n6,且(an+1p)(anp)<0恒成立,则实数p的取值范围是_______.

5、已知x>1,求证:12e2x+1>sinx+cosx

6、求证:ex+ex2lnx>3

7、已知椭圆x22+y2=1和两个定点A(2,1)B(3,2)C为椭圆上的一动点,设直线AC,BC与椭圆的另一个交点分别为P,Q,求证:PQ过定点R


参考答案

1、无数个

2、(,0]{1}[2ln2,+)

3、(,0]{1}[4,+)

4、(74,234)

提示    可以求出数列{an}的通项为an={14k2,n=2k1,14k+6,n=2k.

5、12e2x+1x+1sinx+cosx且等号无法同时取得.

6、方法一

由于当t>1时,有lnt<t1t,ln2t<t+1t2,t=ex,则有ex+ex>x2+2,从而只需要证明x22lnx1,事实上,令LHS=f(x),则f(x)的导函数f(x)=2x2x,于是f(x)f(1)=1,因此原不等式得证.

综上,原命题得证.

方法二

利用切线放缩,有LHS>ex+(1ex+2e)2lnx,RHS=f(x),则f(x)的导函数f(x)=e1e2x,于是f(x)f(2ee1)=2e+2lne212>3,

7、过定点(67,17)

考虑利用参数方程{x=2cosθ,y=sinθ,P,Q,R的参数分别为t1,t2,t0,其中ti=tanθi2(i=1,2,0).由P,Q,M(x0,y0)三点共线可得xPyQxQyP=x0(yQyP)y0(xQxP),代入整理得2(t1t2+1)=x0(1t1t2)+2y0(t1+t2),整理得(x0+2)t1t22y0(t1+t2)+2x0=0.同理,有(2+2)t1t02(t0+t1)+22=0,(3+2)t2t0+2(t0+t2)+23=0,从而可得t0=2+2t12(2+2)t12=322t22(2+3)t2+22,(6+72)t1t22(t1+t2)+726=0,于是对比可得x0=67,y0=17.

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