练习题集[55]基础练习

1、已知$f(x)=|x+1|+|x+2|+\cdots +|x+2016|+|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-2016|$($x\in\mathcal R$)，且集合$M=\{a|f(a^2-a-2)=f(a+1)\}$，则集合$N=\{f(a)|a\in M\}$的元素个数为_______．

2、定义在$(-2,2)$上的奇函数$f(x)$恰有$3$个零点，当$x\in (0,2)$时，$f(x)=x\ln x-a(x-1)$，则$a$的取值范围是_______．

3、函数$y=|x^2-1|$与函数$y=kx^2-(k+2)x+2$的图象恰有两个不同的公共点，则$k$的取值范围是_______．

4、已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_n=(-1)^na_n+\dfrac{1}{2^n}+2n-6$，且$(a_{n+1}-p)(a_n-p)<0$恒成立，则实数$p$的取值范围是_______．

5、已知$x>-1$，求证：$\dfrac 12{\rm e}^{2x+1}>\sin x+\cos x$．

6、求证：${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\ln x>3$．

7、已知椭圆$\dfrac{x^2}2+y^2=1$和两个定点$A(2,1)$，$B(3,-2)$．$C$为椭圆上的一动点，设直线$AC,BC$与椭圆的另一个交点分别为$P,Q$，求证：$PQ$过定点$R$．

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参考答案

1、无数个

2、$(-\infty,0]\cup\{1\}\cup [2\ln 2,+\infty)$

3、$(-\infty,0]\cup\{1\}\cup [4,+\infty)$

4、$\left(-\dfrac 74,\dfrac {23}4\right)$

提示    可以求出数列$\{a_n\}$的通项为

$$a_n=\begin{cases} \dfrac{1}{4^k}-2,&n=2k-1,\\ -\dfrac{1}{4^k}+6,&n=2k.\end{cases}$$

5、$\dfrac 12{\rm e}^{2x+1}\geqslant x+1\geqslant \sin x+\cos x$且等号无法同时取得．

6、方法一

由于当$t>1$时，有

$$\ln t < \sqrt t-\dfrac{1}{\sqrt t},$$ 即 $$\ln^2t<t+\dfrac 1t-2,$$ 令$t={\rm e}^x$，则有 $${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}>x^2+2,$$ 从而只需要证明 $$x^2-2\ln x\geqslant 1,$$ 事实上，令$LHS=f(x)$，则$f(x)$的导函数 $$f'(x)=2x-\dfrac 2x,$$ 于是 $$f(x)\geqslant f(1)=1,$$ 因此原不等式得证．

综上，原命题得证．

方法二

利用切线放缩，有

$$LHS>{\rm e}x+\left(-\dfrac{1}{\rm e}x+\dfrac 2{\rm e}\right)-2\ln x,$$ 记$RHS=f(x)$，则$f(x)$的导函数 $$f'(x)={\rm e}-\dfrac{1}{\rm e}-\dfrac 2x,$$ 于是 $$f(x)\geqslant f\left(\dfrac{2}{{\rm e}-{\rm e}^{-1}}\right)=\dfrac {2}{\rm e}+2\ln\dfrac{{\rm e}^2-1}2>3,$$

7、过定点$\left(\dfrac 67,\dfrac 17\right)$．

考虑利用参数方程

$$\begin{cases} x=\sqrt 2\cdot \cos\theta,\\ y=\sin\theta,\end{cases}$$ 设$P,Q,R$的参数分别为$t_1,t_2,t_0$，其中$t_i=\tan\dfrac{\theta_i}2$($i=1,2,0$)．由$P,Q,M(x_0,y_0)$三点共线可得 $$x_Py_Q-x_Qy_P=x_0(y_Q-y_P)-y_0(x_Q-x_P),$$ 代入整理得 $$\sqrt 2(t_1t_2+1)=x_0(1-t_1t_2)+\sqrt 2y_0(t_1+t_2),$$ 整理得 $$(x_0+\sqrt 2)t_1t_2-\sqrt 2y_0(t_1+t_2)+\sqrt 2-x_0=0.$$ 同理，有 $$\begin{split} (2+\sqrt 2)t_1t_0-\sqrt 2(t_0+t_1)+\sqrt 2-2=0,\\ (3+\sqrt 2)t_2t_0+2(t_0+t_2)+\sqrt 2-3=0,\end{split}$$ 从而可得 $$t_0=\dfrac{2+\sqrt 2t_1-\sqrt 2}{(\sqrt 2+2)t_1-\sqrt 2}=\dfrac{3-2\sqrt 2t_2-\sqrt 2}{(\sqrt 2+3)t_2+2\sqrt 2},$$ 即 $$(6+7\sqrt 2)t_1t_2-\sqrt 2(t_1+t_2)+7\sqrt 2-6=0,$$ 于是对比可得 $$x_0=\dfrac 67,y_0=\dfrac 17.$$