1、已知f(x)=|x+1|+|x+2|+⋯+|x+2016|+|x−1|+|x−2|+⋯+|x−2016|(x∈R),且集合M={a|f(a2−a−2)=f(a+1)},则集合N={f(a)|a∈M}的元素个数为_______.
2、定义在(−2,2)上的奇函数f(x)恰有3个零点,当x∈(0,2)时,f(x)=xlnx−a(x−1),则a的取值范围是_______.
3、函数y=|x2−1|与函数y=kx2−(k+2)x+2的图象恰有两个不同的公共点,则k的取值范围是_______.
4、已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(−1)nan+12n+2n−6,且(an+1−p)(an−p)<0恒成立,则实数p的取值范围是_______.
5、已知x>−1,求证:12e2x+1>sinx+cosx.
6、求证:ex+e−x−2lnx>3.
7、已知椭圆x22+y2=1和两个定点A(2,1),B(3,−2).C为椭圆上的一动点,设直线AC,BC与椭圆的另一个交点分别为P,Q,求证:PQ过定点R.
参考答案
1、无数个
2、(−∞,0]∪{1}∪[2ln2,+∞)
3、(−∞,0]∪{1}∪[4,+∞)
4、(−74,234)
提示 可以求出数列{an}的通项为an={14k−2,n=2k−1,−14k+6,n=2k.
5、12e2x+1⩾x+1⩾sinx+cosx且等号无法同时取得.
6、方法一
由于当t>1时,有lnt<√t−1√t,即ln2t<t+1t−2,令t=ex,则有ex+e−x>x2+2,从而只需要证明x2−2lnx⩾1,事实上,令LHS=f(x),则f(x)的导函数f′(x)=2x−2x,于是f(x)⩾f(1)=1,因此原不等式得证.
综上,原命题得证.
方法二
利用切线放缩,有LHS>ex+(−1ex+2e)−2lnx,记RHS=f(x),则f(x)的导函数f′(x)=e−1e−2x,于是f(x)⩾f(2e−e−1)=2e+2lne2−12>3,
7、过定点(67,17).
考虑利用参数方程{x=√2⋅cosθ,y=sinθ,设P,Q,R的参数分别为t1,t2,t0,其中ti=tanθi2(i=1,2,0).由P,Q,M(x0,y0)三点共线可得xPyQ−xQyP=x0(yQ−yP)−y0(xQ−xP),代入整理得√2(t1t2+1)=x0(1−t1t2)+√2y0(t1+t2),整理得(x0+√2)t1t2−√2y0(t1+t2)+√2−x0=0.同理,有(2+√2)t1t0−√2(t0+t1)+√2−2=0,(3+√2)t2t0+2(t0+t2)+√2−3=0,从而可得t0=2+√2t1−√2(√2+2)t1−√2=3−2√2t2−√2(√2+3)t2+2√2,即(6+7√2)t1t2−√2(t1+t2)+7√2−6=0,于是对比可得x0=67,y0=17.