练习题集[51]基础练习

1、设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$为抛物线$y^2=2px$($p>0$)上不同两点，若以$AB$为直径的圆恰与抛物线在另一公共点处相切，则$\dfrac{p}{x_1+x_2}-\dfrac{y_1y_2}{x_1x_2-y_1y_2}$的最小值为_______．

2、已知$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为两两不等的非零整数，且$f(a)=a^3$，$f(b)=b^3$，则$c=$_______．

3、若实数$a,b,c$满足$a\leqslant b\leqslant c$且$ab+bc+ca=0$，$abc=1$，不等式$|a+b|\geqslant k|c|$恒成立，则实数$k$的最大值为_______．

4、已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，$S_1=6$，$S_2=4$，$S_n>0$，且$S_{2n},S_{2n-1},S_{2n+2}$成等比数列，$S_{2n-1},S_{2n+2},S_{2n+1}$成等差数列，则$a_{2016}=$_______．

5、设$P$为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上的点，$A,B$分别为双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$两渐近线上的动点，且$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$（$\lambda$为常数）．设$O$为坐标原点，若$\triangle AOB$面积的最大值为$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\cdot \dfrac{(1+\lambda)^2}{4|\lambda|}$，则$\dfrac 1a+\dfrac 7b$的取值范围是_______．

6、已知$x>0$，求$f(x)=\left(1+\dfrac 1x\right)^x\cdot (1+x)^{\frac 1x}$的最大值．

7、已知$1<x<2$，求证：$\dfrac{2}{x-1}>\dfrac{1}{\ln x}-\dfrac{1}{\ln (2-x)}$．

参考答案

1、$\dfrac 34$

提示    不妨设$y^2=x$，$A(a^2,a)$，$B(b^2,b)$，则联立圆与抛物线的方程，有 $$\begin{cases} (x-a^2)(x-b^2)+(y-a)(y-b)=0, \\ y^2=x,\end{cases}$$ 于是 $$(y-a)(y-b)[(y+a)(y+b)+1]=0,$$ 因此 $$(a+b)^2-4(ab+1)=0,$$ 即 $$a^2+b^2=2ab+4.$$

欲求代数式为 $$\dfrac{1}{2(a^2+b^2)}-\dfrac{1}{ab-1}=\dfrac{1}{4ab+8}+\dfrac 4{4-4ab}\geqslant \dfrac 34,$$ 其中用到了柯西不等式．

2、$16$

提示    根据题意有 $$\begin{cases} a^3+ab=-c,\\ ab^2+b^2=-c,\end{cases}$$ 因此 $$[(a+1)b+a^2]\cdot (b-a)=0,$$ 于是$b=-\dfrac{a^2}{a+1}$，于是$a=-2$，$b=4$，从而$c=16$．

3、$4$

提示    $a\leqslant b<0<c$，于是$\dfrac 1c=-\dfrac 1a-\dfrac 1b$．

4、$-1009$

提示    $\{\sqrt{S_{2n}}\}$为等差数列．

5、$(7,9]$

提示    $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}=ab$．

6、只需要考虑$x\in (0,1]$的情形，记 $$g(x)=\ln f(x)=x\ln\left(1+\dfrac 1x\right)+\dfrac 1x\ln (1+x),$$ 于是$g(x)$的导函数 $$g'(x)=\ln\left(1+\dfrac 1x\right)-\dfrac 1{x^2}\ln (x+1)+\dfrac{1-x}{x^2+x},$$ 其二阶导函数 $$g''(x)=\dfrac{2}{x^3}\cdot \left[\ln (1+x)-\dfrac{2x^2+x}{(x+1)^2}\right],$$ 设 $$r(x)=\ln (1+x)-\dfrac{2x^2+x}{(x+1)^2},$$ 则$r(x)$的导函数 $$r'(x)=\dfrac{x(x-1)}{(1+x)^3},$$ 从而$r(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增，注意到$g'(1)=0$，于是在$(0,1]$上有$g'(x)\geqslant 0$，因此$g(x)$在$(0,1]$上的最大值是$g(1)=\ln 4$，也即所求代数式$f(x)$的最大值为$4$．

7、由于$1<x<2$，$\dfrac{1}{2-x}>1$，于是 $$\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1},\ln\dfrac{1}{2-x}>\dfrac{2(x-1)}{3-x},$$ 即得．