练习题集[50]基础练习

1、过椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的准线$x=\dfrac{a^2}c$上的一点$P$作椭圆的割线，交点分别为$M,N$．设$M$在$y$轴右侧，$N$在$y$轴左侧，$F$为椭圆的右焦点，求证：$FP$是$\angle MFN$的外角平分线．

2、已知$x,y\geqslant 0$，且满足$x^3+y^3+3xy=1$，则$x^2y$的最大值为_______．

3、设函数$f(x)=\left|\dfrac 2x-ax-b\right|$($a,b\in\mathcal R$)．若对任意的正实数$a$和实数$b$，总存在$x_0\in [1,2]$使得$f(x_0)\geqslant m$，则实数$m$的取值范围是_______．

4、已知$a,b\in\mathcal R$，且$a\neq 0$．若函数$y=\dfrac{a+2}x$的图象与直线$y=ax+2b+1$在区间$[3,4]$上至少有一个公共点，则$a^2+b^2$的最小值是_______．

5、已知$x,y\in\mathcal R$，且$x^2+4y^2=4xy-16x-8y+16$，则$x^2+y^2$的最小值为_______．

6、已知$P$是直线$x+y+2\sqrt 2=0$上第二象限内的动点，过$P$作$x$轴的平行线交函数$y=\dfrac 4x$的图象于$Q$点，$A(0,-\sqrt 2)$是$y$轴上的定点，则$PQ-QA$的最大值为_______．

7、已知抛物线$y^2=4x$的焦点为$F$，过点$H(-1,0)$的直线与抛物线交于$A,B$两点，延长$AF$交抛物线于另一点$C$．设$\triangle ABC$外接圆的圆心为$P(a,b)$，半径为$r$，根据题意，请列写一个恒等式，并证明．

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参考答案

1、利用椭圆的第二定义以及外角平分线定理证明．

2、$\dfrac 4{27}$．

提示    注意到

$$x^3+y^3+(-1)^3-3xy\cdot (-1)=0,$$ 于是 $$(x+y-1)(x^2+y^2+1+x+y-xy)=0,$$ 因此$x+y=1$．进而 $$x^2y=\dfrac 12\cdot x\cdot x \cdot 2y\leqslant \dfrac 12\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac 4{27}.$$

3、$\left(-\infty ,\dfrac 12\right]$

提示　函数的最大值必然在端点处取得，因此

$$2y_{\max}\geqslant f(1)+f(2)\geqslant |a+1|\geqslant 1.$$

4、$\dfrac 1{100}$

提示　根据题意，存在$x\in [3,4]$，使得

$$(x^2-1)\cdot a+2x\cdot b+x-2=0,$$ 将$x$看成是参数，则 $$a^2+b^2\geqslant \dfrac{(x-2)^2}{(x^2-1)^2+(2x)^2}\geqslant \dfrac{1}{100},$$ 等号当且仅当$x=3$时取得，此时$a=-\dfrac {2}{25},b=-\dfrac {3}{50}$．

5、$\dfrac 45$

提示　题意即

$$(x-2y)^2+8(2x+y)=16,$$ 设$2x+y=n$，$x-2y=m$，则 $$m^2=16-8n\geqslant 0,$$ 又 $$x^2+y^2=\dfrac {m^2+n^2}5=\dfrac{n^2-8n+16}5,$$ 其中$n\leqslant 2$，因此不难求得最小值为$\dfrac 45$，此时$m=0,n=2$，对应$x=\dfrac 45,y=\dfrac 25$．

6、$\sqrt{10}$

提示    设$F_1(-2\sqrt 2,-2\sqrt 2)$是双曲线$y=\dfrac 1x$的左焦点，则$x+y+2\sqrt 2=0$是其左准线，于是$PQ=QF_1$，因此所求最大值为$AF_1=\sqrt{10}$．

7、$b=0,a^2-r^2=1$

提示    显然圆心在$x$轴上，因此$b=0$．设$AB:x=my-1$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．将直线方程与抛物线方程联立得

$$y^2-4my+4=0,$$ 记$AB$的中点为$M$，于是可得 $$M(2m^2-1,2m),HA\cdot HB=4(1+m^2),$$ 于是可求得直线 $$PM:x=-\dfrac 1m(y-2m)+2m^2-1,$$ 于是 $$a=2m^2+1.$$ 而 $$HA\cdot HB=(a+1)^2-r^2,$$ 因此 $$a^2-r^2=4(1+m^2)-2a-1=1.$$