1、过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线x=a2c上的一点P作椭圆的割线，交点分别为M,N．设M在y轴右侧，N在y轴左侧，F为椭圆的右焦点，求证：FP是∠MFN的外角平分线．
2、已知x,y⩾，且满足x^3+y^3+3xy=1，则x^2y的最大值为_______．
3、设函数f(x)=\left|\dfrac 2x-ax-b\right|(a,b\in\mathcal R)．若对任意的正实数a和实数b，总存在x_0\in [1,2]使得f(x_0)\geqslant m，则实数m的取值范围是_______．
4、已知a,b\in\mathcal R，且a\neq 0．若函数y=\dfrac{a+2}x的图象与直线y=ax+2b+1在区间[3,4]上至少有一个公共点，则a^2+b^2的最小值是_______．
5、已知x,y\in\mathcal R，且x^2+4y^2=4xy-16x-8y+16，则x^2+y^2的最小值为_______．
6、已知P是直线x+y+2\sqrt 2=0上第二象限内的动点，过P作x轴的平行线交函数y=\dfrac 4x的图象于Q点，A(0,-\sqrt 2)是y轴上的定点，则PQ-QA的最大值为_______．
7、已知抛物线y^2=4x的焦点为F，过点H(-1,0)的直线与抛物线交于A,B两点，延长AF交抛物线于另一点C．设\triangle ABC外接圆的圆心为P(a,b)，半径为r，根据题意，请列写一个恒等式，并证明．
参考答案
1、利用椭圆的第二定义以及外角平分线定理证明．
2、\dfrac 4{27}．
提示 注意到x^3+y^3+(-1)^3-3xy\cdot (-1)=0,于是(x+y-1)(x^2+y^2+1+x+y-xy)=0,因此x+y=1．进而x^2y=\dfrac 12\cdot x\cdot x \cdot 2y\leqslant \dfrac 12\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac 4{27}.
3、\left(-\infty ,\dfrac 12\right]
提示 函数的最大值必然在端点处取得，因此2y_{\max}\geqslant f(1)+f(2)\geqslant |a+1|\geqslant 1.
4、\dfrac 1{100}
提示 根据题意，存在x\in [3,4]，使得(x^2-1)\cdot a+2x\cdot b+x-2=0,将x看成是参数，则a^2+b^2\geqslant \dfrac{(x-2)^2}{(x^2-1)^2+(2x)^2}\geqslant \dfrac{1}{100},等号当且仅当x=3时取得，此时a=-\dfrac {2}{25},b=-\dfrac {3}{50}．
5、\dfrac 45
提示 题意即(x-2y)^2+8(2x+y)=16,设2x+y=n，x-2y=m，则m^2=16-8n\geqslant 0,又x^2+y^2=\dfrac {m^2+n^2}5=\dfrac{n^2-8n+16}5,其中n\leqslant 2，因此不难求得最小值为\dfrac 45，此时m=0,n=2，对应x=\dfrac 45,y=\dfrac 25．
6、\sqrt{10}
提示 设F_1(-2\sqrt 2,-2\sqrt 2)是双曲线y=\dfrac 1x的左焦点，则x+y+2\sqrt 2=0是其左准线，于是PQ=QF_1，因此所求最大值为AF_1=\sqrt{10}．
7、b=0,a^2-r^2=1
提示 显然圆心在x轴上，因此b=0．设AB:x=my-1，A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)．将直线方程与抛物线方程联立得y^2-4my+4=0,记AB的中点为M，于是可得M(2m^2-1,2m),HA\cdot HB=4(1+m^2),于是可求得直线PM:x=-\dfrac 1m(y-2m)+2m^2-1,于是a=2m^2+1.而HA\cdot HB=(a+1)^2-r^2,因此a^2-r^2=4(1+m^2)-2a-1=1.