1、过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线x=a2c上的一点P作椭圆的割线,交点分别为M,N.设M在y轴右侧,N在y轴左侧,F为椭圆的右焦点,求证:FP是∠MFN的外角平分线.
2、已知x,y⩾0,且满足x3+y3+3xy=1,则x2y的最大值为_______.
3、设函数f(x)=|2x−ax−b|(a,b∈R).若对任意的正实数a和实数b,总存在x0∈[1,2]使得f(x0)⩾m,则实数m的取值范围是_______.
4、已知a,b∈R,且a≠0.若函数y=a+2x的图象与直线y=ax+2b+1在区间[3,4]上至少有一个公共点,则a2+b2的最小值是_______.
5、已知x,y∈R,且x2+4y2=4xy−16x−8y+16,则x2+y2的最小值为_______.
6、已知P是直线x+y+2√2=0上第二象限内的动点,过P作x轴的平行线交函数y=4x的图象于Q点,A(0,−√2)是y轴上的定点,则PQ−QA的最大值为_______.
7、已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点H(−1,0)的直线与抛物线交于A,B两点,延长AF交抛物线于另一点C.设△ABC外接圆的圆心为P(a,b),半径为r,根据题意,请列写一个恒等式,并证明.
参考答案
1、利用椭圆的第二定义以及外角平分线定理证明.
2、427.
提示 注意到x3+y3+(−1)3−3xy⋅(−1)=0,于是(x+y−1)(x2+y2+1+x+y−xy)=0,因此x+y=1.进而x2y=12⋅x⋅x⋅2y⩽12⋅(23)3=427.
3、(−∞,12]
提示 函数的最大值必然在端点处取得,因此2ymax
4、\dfrac 1{100}
提示 根据题意,存在x\in [3,4],使得(x^2-1)\cdot a+2x\cdot b+x-2=0,将x看成是参数,则a^2+b^2\geqslant \dfrac{(x-2)^2}{(x^2-1)^2+(2x)^2}\geqslant \dfrac{1}{100},等号当且仅当x=3时取得,此时a=-\dfrac {2}{25},b=-\dfrac {3}{50}.
5、\dfrac 45
提示 题意即(x-2y)^2+8(2x+y)=16,设2x+y=n,x-2y=m,则m^2=16-8n\geqslant 0,又x^2+y^2=\dfrac {m^2+n^2}5=\dfrac{n^2-8n+16}5,其中n\leqslant 2,因此不难求得最小值为\dfrac 45,此时m=0,n=2,对应x=\dfrac 45,y=\dfrac 25.
6、\sqrt{10}
提示 设F_1(-2\sqrt 2,-2\sqrt 2)是双曲线y=\dfrac 1x的左焦点,则x+y+2\sqrt 2=0是其左准线,于是PQ=QF_1,因此所求最大值为AF_1=\sqrt{10}.
7、b=0,a^2-r^2=1
提示 显然圆心在x轴上,因此b=0.设AB:x=my-1,A(x_1,y_1),B(x_2,y_2).将直线方程与抛物线方程联立得y^2-4my+4=0,记AB的中点为M,于是可得M(2m^2-1,2m),HA\cdot HB=4(1+m^2),于是可求得直线PM:x=-\dfrac 1m(y-2m)+2m^2-1,于是a=2m^2+1.而HA\cdot HB=(a+1)^2-r^2,因此a^2-r^2=4(1+m^2)-2a-1=1.