练习题集[49]基础练习

1、设$S_n$是各项均为正数的等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和，$m,n$是任意的正整数．求证： $$\ln S_{2m}+\ln S_{2n}\leqslant 2\ln S_{m+n}.$$

2、已知$f(x)=x^2+px+q$的两根在区间$(n,n+1)$上，其中$n\in\mathcal Z$，求证：$f(n)$和$f(n+1)$中至少有一个小于$\dfrac 14$．

3、已知函数$f(x)=\left(m-\dfrac n3\right)\cdot 3^x+x^2+2nx$，设函数$y=f(x)$的零点构成的集合为$A$，函数$y=f(f(x))$的零点构成的集合为$B$，若$A=B$，且$A,B$均不为空集，则$m+n$的取值范围是_______．

4、在$\triangle ABC$中，$AB=2\sqrt 2$，$CA^2-CB^2=16$，则$C$的最大值是_______．

5、设奇函数$f(x)$的定义域为$\mathcal R$，当$x\in (1,+\infty)$时，$f(x)=x^2-ax+2$，且对任意的非零实数$m$，均有$f\left(\dfrac 1m\right)=\dfrac{1}{f(m)}$．若函数$f(x)$的值域为$\mathcal R$，则实数$a$的取值范围是_______．

6、若非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$满足$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b= \overrightarrow b\cdot \overrightarrow c= \overrightarrow c\cdot \overrightarrow a$，且$\overrightarrow a+ 2\overrightarrow b+3 \overrightarrow c=\overrightarrow 0$，则$\overrightarrow b$和$\overrightarrow c$的夹角为_______．

7、已知$a_1,a_2,a_3,a_4$为首项为$1$的正数数列．若存在实数$a_3$，使得对任意的$a_4\in (7,8)$，有$\sqrt{a_1a_3}<a_2<\dfrac{a_1+a_3}2$且$\sqrt{a_2a_4}<a_3<\dfrac{a_2+a_4}2$成立，则$a_2$的取值范围是_______．

参考答案

1、略．

2、$\min\{f(n),f(n+1)\}\leqslant f\left(-\dfrac p2+\dfrac 12\right)$，且$f\left(-\dfrac p2\right)<0$，因此 $$\min\{f(n),f(n+1)\}< f\left(-\dfrac p2+\dfrac 12\right)-f\left(-\dfrac p2\right)=\dfrac 14.$$

3、$\left[0,\dfrac 83\right)$

提示    注意到$f(0)=0$，于是$m=\dfrac n3$．

4、$\dfrac{\pi}6$

提示    $C$点的轨迹是一条直线（除去一点）．

5、$[2,2\sqrt 2)$

6、$\dfrac {3\pi}4$

提示    设$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$分别为$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$，则$O$为$\triangle ABC$的垂心．因此 $$\tan A:\tan B:\tan C=1:2:3,$$ 由恒等式 $$\tan A\tan B\tan C=\tan A +\tan B+\tan C$$ 解得$\tan A = 1$，$A=\dfrac{\pi}4$，因此$\overrightarrow b$和$\overrightarrow c$的夹角为${\pi}-A=\dfrac{3\pi}4$．

7、$(2,3)$

提示    根据题意，有 $$\begin{cases} \sqrt{a_3}<a_2<\dfrac{1+a_3}2,\\ \sqrt{a_2a_4}<a_3<\dfrac{a_2+a_4}2 ,\end{cases}$$ 于是区间$\left(\sqrt{a_2a_4},\dfrac{a_2+a_4}2\right)$和区间$\left(2a_2-1,a_2^2\right)$有交集，即 $$\sqrt[3]{a_4}<a_2<\dfrac{a_4+2}3,$$ 以下略．

注    若题目改为

已知$a_1,a_2,a_3,a_4$为首项为$1$的正数数列．若对任意的$a_4\in (7,8)$，均存在实数$a_3$，使得$\sqrt{a_1a_3}<a_2<\dfrac{a_1+a_3}2$且$\sqrt{a_2a_4}<a_3<\dfrac{a_2+a_4}2$成立，则$a_2$的取值范围是_______．

则答案为$[2,3]$．