练习题集[44]基础练习

1、已知双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的右焦点为$F_2$，$M,N$是双曲线$C$上关于坐标原点对称的两点，且$M$在$y$轴右侧．连接$MF_2$并延长交双曲线$C$于点$P$，连接$NF_2,PN$，若$\triangle NF_2P$是以$\angle NF_2P$为顶角的等腰直角三角形，则双曲线$C$的离心率为_______．

2、$\max\{x^2+xy+x,4y^2+xy+2y\}$（$x,y\in\mathcal R$）的最小值为_______．

3、已知$f(x)$满足$f(0)=1$，其导函数$f'(x)=3f(x)+3$，则不等式$4f(x)>f'(x)$的解集是_______．

4、已知定义在$\mathcal R$上的函数$f(x)$满足：$f(x+1)=\sqrt{f(x)-f^2(x)}+\dfrac 12$，数列$\{a_n\}$满足$a_n=f^2(n)-f(n)$，若前$n$项和为$-\dfrac{35}{16}$，则$n$的值为_______．

5、已知圆心为$C_1$的圆$(x+2)^2+y^2=1$，圆心为$C_2$的圆$(x-4)^2+y^2=4$．过动点$P$向圆$C_1$和圆$C_2$引切线，切点分别为$M,N$．若$PM=2PN$，则$\triangle PC_1C_2$面积的最大值为_______．

6、在边长为$1$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E,F,G$分别在$BB_1,BC,BA$上，并且满足$\overrightarrow{BE}=\dfrac 34\overrightarrow{BB_1}$，$\overrightarrow{BF}=\dfrac 12\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BG}=\dfrac 12\overrightarrow{BA}$．若平面$AB_1F$，平面$ACE$，平面$B_1CG$交于一点$O$，且$\overrightarrow{BO}=x\overrightarrow{BG}+y\overrightarrow{BF}+z\overrightarrow{BE}$，则$x+y+z=$_______ ，$OD=$_______ ．

7、已知$f(x)=\dfrac{\ln x+1}{{\rm e}^x}$，$f'(x)$是$f(x)$的导函数，求证：$(x^2+x)\cdot f'(x)<1+{\rm e}^{-2}$．

参考答案

1、$\dfrac{\sqrt {10}}2$．

提示    连接$F_1M,F_1N,F_1P$，利用双曲线的定义．

2、$-\dfrac 16$．

提示    利用不等式$\max\{a,b\}\geqslant \dfrac{a+b}2$．

3、$\left(\dfrac{\ln 2}3,+\infty\right)$．

提示    $f(x)={\rm e}^{3x+C}-1$，其中$C$为常数．

4、$17$．

提示    注意到$\{a_n\}$相邻两项和为$-\dfrac 14$，且$a_n\leqslant 0$．

5、$3\sqrt{21}$．

提示    $P$点的轨迹方程为$(x-6)^2+y^2=21$，且$P$点在两个圆的外部．

6、$\dfrac 43$，$\dfrac {\sqrt{59}}{6}$．

7、提示    $LHS=\dfrac{x+1}{{\rm e}^x}\cdot\left(1-x-x\ln x\right)$．