练习题集[42]基础练习

1、已知函数$f(x)=x^2+bx+c$，集合$A,B$分别为函数$y=f(x)$和函数$y=f(f(x))$的零点构成的集合，若$A\cap B\neq\varnothing$，$A\cup B\neq A$，则实数$b$的取值范围是_______．

2、若$\tan x=2\tan\dfrac{\pi}5$，则$\dfrac{\cos\left(x-\dfrac{3\pi}{10}\right)}{\sin\left(x-\dfrac{\pi}5\right)}=$_______．

3、已知$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}$，$M$点不在直线$AB$上，且$\dfrac{\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}}{\left|\overrightarrow{MA}\right|}=\dfrac{\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MB}}{\left|\overrightarrow{MB}\right|}$，则$\dfrac{\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|^2}$的取值范围是_______．

4、已知圆$x^2+y^2=4$的两弦$AB,CD$交于点$P\left(\dfrac{\sqrt 5-1}{2},\dfrac{\sqrt 5+1}{2}\right)$，且$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$，则$\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\right|$的值为________．

5、在数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=ca_n+c^{n+1}(2n+1)$，其中$n$为任意正整数，$c$为非零实数．若对一切正整数$k$，均有$a_{2k}>a_{2k-1}$，则$c$的取值范围是_______．

6、已知椭圆$\dfrac{x^2}4+y^2=1$的内接直角三角形$ABC$中直角边$AB$过原点$O$，斜边$BC$交$x$轴与$D$点，则直线$AD$与直线$BC$的斜率之比为_______．

7、过椭圆$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$上一点$P\left(1,\dfrac 32\right)$作两条斜率之积为$1$的直线，分别交椭圆于不同于$P$的点$A,B$，则直线$AB$恒过的点的坐标是_______．

参考答案

1、$(-\infty,0)\cup\left[4,+\infty\right)$．

提示    注意$c=0$，且$f(x)$的最小值不大于其较小的零点．

2、$3$．

3、$\left(-\dfrac 29,2\right)$．

4、$2\sqrt 5$．

5、$\left(-\infty,-\dfrac{1+\sqrt {13}}{6}\right)\cup [1,+\infty)$．

6、$-2$．

提示    利用椭圆的“垂径定理”．

7、$\left(7,-\dfrac{21}2\right)$．

提示    化齐次联立．