1、已知方程\(\dfrac{|\cos x|}{x}=k\)在\((0,+\infty)\)上有两个不同的解\(a\)，\(b\)（\(a<b\)），则下列四个命题中正确的是（ ）
A．\(\sin 2a=2a\cos^2a\)
B．\(\cos 2a=2b\sin^2a\)
C．\(\sin 2b=-2b\sin^2b\)
D．\(\cos 2b=-2b\sin^2b\)
2、设\(O\)是正三棱锥\(P-ABC\)底面三角形\(ABC\)的中心，过\(O\)的动平面与\(PC\)交于\(X\)，与\(PA\)、\(PB\)的延长线分别交于\(Y\)、\(Z\)两点，则\(\dfrac{1}{PX}+\dfrac{1}{PY}+\dfrac{1}{PZ}\)（ ）
A．有最大值但无最小值
B．有最小值但无最大值
C．既无最大值也无最小值
D．是定值
3、如图，在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(M\)为\(BC\)的中点，点\(N\)在四边形\(CDD_1C_1\)及其内部运动．若\(MN\perp A_1C_1\)，则\(N\)点的轨迹为（ ）
A．线段
B．圆的一部分
C．椭圆的一部分
D．双曲线的一部分
4、当\(x\in [-2,1]\)时，不等式\(ax^3-x^2+4x+3\geqslant 0\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是_______．
5、已知函数\(f(x)=a_1\cos^2x+\left(a_2-1\right)\sin x\cos x+3\sin^2x\)（\(a_1^2+a_2^2\neq 0\)）的图象是一条直线，则\(a_1+a_2=\)_______．
6、过边长为\(2\)的正方形中心作直线\(l\)，将正方形沿直线\(l\)翻折，则翻折后的图形面积的最大值为_______．
7、对于一个\(n\times n\)的正方形盒子，从\(A\)走到\(B\)，每一步走一格，可以向左、向右、向上，但不能向下，且一次路径不能重复走同一个格子，则从\(A\)到\(B\)的不同走法数有_______．
参考答案
1、C．提示：作出函数\(y=|\cos x|\)的图象，并作出过原点且与该图象在\(\left(\dfrac{\pi}2,\pi\right)\)内部分相切的直线\(y=kx\)，则该直线与函数图象的交点横坐标为\(a\)，与函数图象的切点横坐标为\(b\)．
2、D．提示：利用空间向量的共面表达，定值为\(\dfrac{3}{PA}\)．
3、A．提示：满足条件\(MN\perp A_1C_1\)的所有\(N\)点组成一个平面（不包括\(M\)点）．
4、\([-6,-2]\)．提示：分离变量．
5、\(4\)．
6、\(8-4\sqrt 2\)．提示：如图，由于直线\(l\)过正方形的中心，于是\(8\)个小三角形全等，所求图形面积为正方形面积的一半再加上两个小三角形的面积．因此问题等价于\(a+b+\sqrt{a^2+b^2}=2\)，求\(2+ab\)的最大值．
7、\(n^{n-1}\)．提示：考虑每条路径所经经过的\(n-1\)次短横线，每次都有\(n\)种不同的选择方案．