练习题[10] 创新能力培养基础练习

1、已知方程$\dfrac{|\cos x|}{x}=k$在$(0,+\infty)$上有两个不同的解$a$，$b$（$a<b$），则下列四个命题中正确的是（        ）

A．$\sin 2a=2a\cos^2a$

B．$\cos 2a=2b\sin^2a$

C．$\sin 2b=-2b\sin^2b$

D．$\cos 2b=-2b\sin^2b$

 2、设$O$是正三棱锥$P-ABC$底面三角形$ABC$的中心，过$O$的动平面与$PC$交于$X$，与$PA$、$PB$的延长线分别交于$Y$、$Z$两点，则$\dfrac{1}{PX}+\dfrac{1}{PY}+\dfrac{1}{PZ}$（        ）

A．有最大值但无最小值

B．有最小值但无最大值

C．既无最大值也无最小值

D．是定值

3、如图，在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$M$为$BC$的中点，点$N$在四边形$CDD_1C_1$及其内部运动．若$MN\perp A_1C_1$，则$N$点的轨迹为（        ）

A．线段

B．圆的一部分

C．椭圆的一部分

D．双曲线的一部分

4、当$x\in [-2,1]$时，不等式$ax^3-x^2+4x+3\geqslant 0$恒成立，则实数$a$的取值范围是_______．

5、已知函数$f(x)=a_1\cos^2x+\left(a_2-1\right)\sin x\cos x+3\sin^2x$（$a_1^2+a_2^2\neq 0$）的图象是一条直线，则$a_1+a_2=$_______．

6、过边长为$2$的正方形中心作直线$l$，将正方形沿直线$l$翻折，则翻折后的图形面积的最大值为_______．

7、对于一个$n\times n$的正方形盒子，从$A$走到$B$，每一步走一格，可以向左、向右、向上，但不能向下，且一次路径不能重复走同一个格子，则从$A$到$B$的不同走法数有_______．

 

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参考答案

1、C．提示：作出函数$y=|\cos x|$的图象，并作出过原点且与该图象在$\left(\dfrac{\pi}2,\pi\right)$内部分相切的直线$y=kx$，则该直线与函数图象的交点横坐标为$a$，与函数图象的切点横坐标为$b$．

2、D．提示：利用空间向量的共面表达，定值为$\dfrac{3}{PA}$．

3、A．提示：满足条件$MN\perp A_1C_1$的所有$N$点组成一个平面（不包括$M$点）．

4、$[-6,-2]$．提示：分离变量．

5、$4$．

6、$8-4\sqrt 2$．提示：如图，由于直线$l$过正方形的中心，于是$8$个小三角形全等，所求图形面积为正方形面积的一半再加上两个小三角形的面积．因此问题等价于$a+b+\sqrt{a^2+b^2}=2$，求$2+ab$的最大值．

7、$n^{n-1}$．提示：考虑每条路径所经经过的$n-1$次短横线，每次都有$n$种不同的选择方案．