练习题[5] 一组解答题

1、如图，已知椭圆$C_1$与$C_2$的中心在坐标原点$O$，长轴均为$MN$且在$x$轴上，短轴长分别为$2m$、$2n$（$m>n$），过原点且不与$x$轴重合的直线$l$与$C_1$，$C_2$的四个交点按纵坐标从小到大依次为$A,B,C,D$．记$\lambda=m/n$，三角形$BDM$和三角形$ABN$的面积分别为$S_1$，$S_2$．

（1）当直线$l$与$y$轴重合时，若$S_1=\lambda S_2$，求$\lambda$的值；

（2）当$\lambda$变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线$l$使得$S_1=\lambda S_2$？说明理由．

2、已知函数$f(x)=ax^2-4\ln (x-1)$，$a\in\mathcal R$．

（1）当$a=1$时，求$f(x)$的单调区间；

（2）已知点$P(1,1)$和函数$f(x)$图象上的动点$M(m,f(m))$，对任意$m\in [2,\mathcal e+1]$，直线$PM$的倾斜角都是钝角，求$a$的取值范围．

3、设无穷等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，且$a_n>0(n\in\mathcal N^*)$，$[a_n]$表示不超过实数$a_n$的最大整数（如$[2.5]=2$），记$b_n=[a_n]$，数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$．

（1）若$a_1=4$，$q=\dfrac 12$，求$T_n$；

（2）若对于任意不超过$2014$的正整数$n$都有$T_n=2n+1$，证明：

$$\left(\dfrac 23\right)^{\frac 1{2012}}<q<1;$$

（3）证明：$S_n=T_n$（$n=1,2,\cdots$）的充分必要条件是$a_1\in\mathcal N^*$，$q\in\mathcal N^*$．

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参考答案

1、（1）$1+\sqrt 2$；（2）当$\lambda\in\left(1,1+\sqrt 2\right]$时不存在，当$\lambda\in\left(1+\sqrt 2,+\infty\right)$时存在．

提示：（2）$\dfrac{S_1}{S_2}$与$A,B$点横坐标的比单调变化，而$A,B$点横坐标的比与$k$单调变化，从而可以求出$\dfrac{S_1}{S_2}$的范围是$\left(\dfrac{m+n}{m-n},+\infty\right)$．

2、（1）$f(x)$的单调递增区间为$(2,+\infty)$，单调递减区间为$(1,2)$；

（2）$a$的取值范围是$\left(-\infty,\dfrac 14\right)$．

提示：（2）可以分离变量求解．

3、（1）列举可得

$$T_n=\begin{cases}4,&n=1\\6,&n=2\\7,&n\geqslant 3\end{cases}$$

（2）提示：$a_1\in [3,4)$，$a_2,a_3,\cdots,a_{2014}\in [2,3)$．

（3）提示：$a_n=b_n$，用反证法，利用有理数的性质推出矛盾．