1、如图，已知椭圆\(C_1\)与\(C_2\)的中心在坐标原点\(O\)，长轴均为\(MN\)且在\(x\)轴上，短轴长分别为\(2m\)、\(2n\)（\(m>n\)），过原点且不与\(x\)轴重合的直线\(l\)与\(C_1\)，\(C_2\)的四个交点按纵坐标从小到大依次为\(A,B,C,D\)．记\(\lambda=m/n\)，三角形\(BDM\)和三角形\(ABN\)的面积分别为\(S_1\)，\(S_2\)．
（1）当直线\(l\)与\(y\)轴重合时，若\(S_1=\lambda S_2\)，求\(\lambda\)的值；
（2）当\(\lambda\)变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线\(l\)使得\(S_1=\lambda S_2\)？说明理由．
2、已知函数\(f(x)=ax^2-4\ln (x-1)\)，\(a\in\mathcal R\)．
（1）当\(a=1\)时，求\(f(x)\)的单调区间；
（2）已知点\(P(1,1)\)和函数\(f(x)\)图象上的动点\(M(m,f(m))\)，对任意\(m\in [2,\mathcal e+1]\)，直线\(PM\)的倾斜角都是钝角，求\(a\)的取值范围．
3、设无穷等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q\)，且\(a_n>0(n\in\mathcal N^*)\)，\([a_n]\)表示不超过实数\(a_n\)的最大整数（如\([2.5]=2\)），记\(b_n=[a_n]\)，数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和为\(T_n\)．
（1）若\(a_1=4\)，\(q=\dfrac 12\)，求\(T_n\)；
（2）若对于任意不超过\(2014\)的正整数\(n\)都有\(T_n=2n+1\)，证明：\[\left(\dfrac 23\right)^{\frac 1{2012}}<q<1;\]
（3）证明：\(S_n=T_n\)（\(n=1,2,\cdots\)）的充分必要条件是\(a_1\in\mathcal N^*\)，\(q\in\mathcal N^*\)．
参考答案
1、（1）\(1+\sqrt 2\)；（2）当\(\lambda\in\left(1,1+\sqrt 2\right]\)时不存在，当\(\lambda\in\left(1+\sqrt 2,+\infty\right)\)时存在．
提示：（2）\(\dfrac{S_1}{S_2}\)与\(A,B\)点横坐标的比单调变化，而\(A,B\)点横坐标的比与\(k\)单调变化，从而可以求出\(\dfrac{S_1}{S_2}\)的范围是\(\left(\dfrac{m+n}{m-n},+\infty\right)\)．
2、（1）\(f(x)\)的单调递增区间为\((2,+\infty)\)，单调递减区间为\((1,2)\)；
（2）\(a\)的取值范围是\(\left(-\infty,\dfrac 14\right)\)．
提示：（2）可以分离变量求解．
3、（1）列举可得\[T_n=\begin{cases}4,&n=1\\6,&n=2\\7,&n\geqslant 3\end{cases}\]
（2）提示：\(a_1\in [3,4)\)，\(a_2,a_3,\cdots,a_{2014}\in [2,3)\)．
（3）提示：\(a_n=b_n\)，用反证法，利用有理数的性质推出矛盾．