练习题[4] 创新能力培养题链

1、如图放置的边长为$1$的正方形$ABCD$的顶点$A$、$D$分别在$x$轴和$y$轴的正半轴上滑动，则$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}$的取值范围是_____．

2、设上一题的答案中最大的整数为$T$．

已知某四棱锥，其底面是边长为$T$的正方形，且俯视图如图所示．

（1）若改四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为________；

（2）关于该四棱锥的下列结论中，正确的个数为________．

① 至少有两组侧面互相垂直；

② 可能存在三个侧面为直角三角形；

③ 不可能存在四组互相垂直的侧面．

3、设上一题（2）的答案是$T$．

如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了$T$个水果，且从这周的第二天开始，每天吃的水果的个数与前一天相比仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么小明在这一周内每天所吃水果个数的不同选择方案共有________种．

4、设上一题答案的各个数位上的数字之和为$T$．

设等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$．若$S_4\geqslant 10$，$S_5\leqslant 15$，则$a_T$的最大值为________．

5、设上一题答案为$T$．

在平面直角坐标系$xOy$中，记不等式组 $$\begin{cases}x+y\geqslant 0\\x-y\leqslant 0\\x^2+y^2\leqslant T\end{cases}$$ 所表示的平面区域为$D$．在映射 $$f:\begin{cases}u=x+y\\v=x-y\end{cases}$$ 的作用下，区域$D$内的点$(x,y)$对应的象为点$(u,v)$．

（1）在映射$f$的作用下，点$(2,0)$的原象是________；

（2）由点$(u,v)$所行程的平面区域的面积为________．

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参考答案

1、$\left(1,2\right]$．

2、（1）$\dfrac{4}{3}$；（2）$3$．

3、$141$．提示：用从第二天到最后一天每天与前一天所吃水果数之差构成的排列计算．

4、$6$．提示：利用前$n$项和与等差中项的关系．

5、（1）$(1,1)$；（2）$3\pi$．