每日一题[40] 构造双曲线解题

已知三角形$ABC$中，$AM$为$BC$边上的中线（$M$在$BC$边上），且满足$AM=AB-AC$，$BC=4$．求点$A$到直线$BC$距离的最大值．

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 如图建系．

设$AM=2a$，则$A$点为双曲线

$$E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1,a^2+b^2=4\qquad\cdots (1)$$ 和圆 $$F:x^2+y^2=4a^2\qquad\cdots (2)$$ 的交点．

于是(2)式两边同时除以$a^2$再减去(1)式可得

$$\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=3,$$ 进而 $$y^2=\dfrac 32\cdot\dfrac{2}{\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}}\leqslant \dfrac 32\cdot\dfrac {a^2+b^2}2=3,$$ 等号当且仅当$a=b=\sqrt 2$时取得．

因此所求点$A$到直线$BC$的最大距离为$\sqrt 3$．

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 点评    看到三角形的两边之差，自然联想到双曲线；看到三角形的两边之和，自然联想到椭圆．可以尝试用类似的方法解决下面的问题：

在三角形$ABC$中，$AB+AC>2BC$，求证 :$B+C>2A$．

如图，以$B,C$为焦点，$2BC$为长轴长作椭圆，则三角形$ABC$的顶点$A$在椭圆外部，因此

$$A<\angle BA_1C\leqslant\angle BA_2C=\dfrac{\pi}3,$$ 也即 $$B+C>2A.$$