每日一题[274] 双生暗影

问题1    已知不等式$a\leqslant \dfrac 34x^2-3x+4\leqslant b$的解集恰好是$[a,b]$，求$a,b$的值．

问题2    已知函数$f(x)=\dfrac 34x^2-3x+4$的定义域和值域都是$[a,b]$，求$a,b$的值．

正确答案是（1）$a=0,b=4$；（2）$a=1,b=4$．

解    相同的函数$f(x)=\dfrac 34x^2-3x+4$，不同的问题，但出发点都是函数的图象．

问题1    题中不等式的解是函数$f(x)=\dfrac 34x^2-3x+4$的图象在直线$y=a$与直线$y=b$之间的部分在$x$轴上的投影所表示的区间．

容易确定$a\leqslant 1$，否则投影区间不连续，与题意不符．

于是$a,b$是方程$f(x)=b$的两根，根据韦达定理，有 $$\begin{cases}a+b=4,\\ab=\dfrac 43(4-b),\end{cases}$$ 解得 $$a=0\land b=4.$$

问题2    这个问题可以在问题1的基础上继续思考，设函数$f(x)=\dfrac 34x^2-3x+4$的图象在直线$y=a$与直线$y=b$之间的部分在$x$轴上的投影所表示的区间为$D$，那么定义域$[a,b]$需要满足必要条件$[a,b]\subseteq D$．

若$[a,b]$为$f(x)$的单调递减区间，则有 $$\begin{cases} a=f(b)=\dfrac 34b^2-3b+4,\\b=f(a)=\dfrac 34a^2-3a+4,\end{cases}$$ 两式相减整理得$a+b=\dfrac 83$，代回方程组中解得$a=b=\dfrac 43$．不符合题意；

若$[a,b]$为$f(x)$的单调增区间，则有 $$\begin{cases} f(a)=a,\\f(b)=b,\end{cases}$$ 解得$a=\dfrac 43,b=4$，与单调性的前提不相符，舍去；

若$f(x)$在$[a,b]$上不单调，则$2\in [a,b]$，从而有$a=1,b\geqslant 2$，所以$b$满足$f(b)=b$，解得$b=4$．

综上，符合题意的$a,b$的值为$a=1\land b=4$．

注    这个问题是我从江苏苗勇老师的博客中看到的．