问题1 已知不等式\(a\leqslant \dfrac 34x^2-3x+4\leqslant b\)的解集恰好是\([a,b]\)，求\(a,b\)的值．
问题2 已知函数\(f(x)=\dfrac 34x^2-3x+4\)的定义域和值域都是\([a,b]\)，求\(a,b\)的值．
正确答案是（1）\(a=0,b=4\)；（2）\(a=1,b=4\)．
解 相同的函数\(f(x)=\dfrac 34x^2-3x+4\)，不同的问题，但出发点都是函数的图象．
问题1 题中不等式的解是函数\(f(x)=\dfrac 34x^2-3x+4\)的图象在直线\(y=a\)与直线\(y=b\)之间的部分在\(x\)轴上的投影所表示的区间．
容易确定\(a\leqslant 1\)，否则投影区间不连续，与题意不符．
于是\(a,b\)是方程\(f(x)=b\)的两根，根据韦达定理，有\[\begin{cases}a+b=4,\\ab=\dfrac 43(4-b),\end{cases}\]解得\[a=0\land b=4.\]
问题2 这个问题可以在问题1的基础上继续思考，设函数\(f(x)=\dfrac 34x^2-3x+4\)的图象在直线\(y=a\)与直线\(y=b\)之间的部分在\(x\)轴上的投影所表示的区间为\(D\)，那么定义域\([a,b]\)需要满足必要条件\([a,b]\subseteq D\)．
若$[a,b]$为$f(x)$的单调递减区间，则有\[\begin{cases} a=f(b)=\dfrac 34b^2-3b+4,\\b=f(a)=\dfrac 34a^2-3a+4,\end{cases} \]两式相减整理得$a+b=\dfrac 83$，代回方程组中解得$a=b=\dfrac 43$．不符合题意；
若$[a,b]$为$f(x)$的单调增区间，则有$$\begin{cases} f(a)=a,\\f(b)=b,\end{cases}$$解得$a=\dfrac 43,b=4$，与单调性的前提不相符，舍去；
若$f(x)$在$[a,b]$上不单调，则$2\in [a,b]$，从而有$a=1,b\geqslant 2$，所以$b$满足$f(b)=b$，解得$b=4$．
综上，符合题意的$a,b$的值为$a=1\land b=4$．
注 这个问题是我从江苏苗勇老师的博客中看到的．