2012年北京市朝阳区高三期末理科数学第 8 题（选择压轴题）：
已知集合\[\begin{split}A &= \left\{ \left( {x , y} \right)|x = n , y = na + b , n \in \mathcal Z \right\},\\B &= \left\{ \left( {x , y} \right)|x = m , y = 3{m^2} + 12 , m \in \mathcal Z \right\}.\end{split}\]若存在实数\(a , b\)使得\(A \cap B \neq \varnothing \)成立，称点\(\left( {a , b} \right)\)为“\(\alpha \)”点，则“\(\alpha \)”点在平面区域\(C = \left\{ {\left( {x , y} \right)|{x^2} + {y^2} \leqslant 108} \right\}\)内的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数个
正确答案是 A．
解 根据题意，\(A\)与\(B\)的交集即\[\left\{ \left( {x , y} \right)|y = ax + b = 3{x^2} + 12 , x \in \mathcal Z \right\},\]于是\(A \cap B\)是否为空集取决于关于\(x\)的方程\(ax + b = 3{x^2} + 12\)是否存在整数解．
将\(x\)看作参数，需要考虑直线系\(x \cdot a + b-3{x^2}-12 = 0\)与圆\({a^2} + {b^2} = 108\)的位置关系．
原点到直线的距离为\[\begin{split}\dfrac{{3{x^2} + 12}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}& = 3\sqrt {{x^2} + 1} + \frac{9}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\& > 2\sqrt {27} = \sqrt {108},\end{split}\]其中考虑到\(x \in {\mathcal {Z}}\)，等号无法取到．因此满足条件的点\(\left( {a , b} \right)\)不存在．
注 本题也可以从代数角度考虑，由方程\(ax + b = 3{x^2} + 12\)有解得到判别式\(\Delta\geqslant 0\)，即\[a^2+12b-144\geqslant 0,\]与不等式\(a^2+b^2\leqslant 108\)结合可以得到\[a=\pm 6\sqrt 2，b=6．\]此时方程\(ax + b = 3{x^2} + 12\)有唯一解，但不是整数，故“\(\alpha\)”点不存在．