每日一题[273] 反客为主

2012年北京市朝阳区高三期末理科数学第 8 题（选择压轴题）：

已知集合

$$\begin{split}A &= \left\{ \left( {x , y} \right)|x = n , y = na + b , n \in \mathcal Z \right\},\\B &= \left\{ \left( {x , y} \right)|x = m , y = 3{m^2} + 12 , m \in \mathcal Z \right\}.\end{split}$$ 若存在实数$a , b$使得$A \cap B \neq \varnothing$成立，称点$\left( {a , b} \right)$为“$\alpha$”点，则“$\alpha$”点在平面区域$C = \left\{ {\left( {x , y} \right)|{x^2} + {y^2} \leqslant 108} \right\}$内的个数是（         ）

A．0

B．1

C．2

D．无数个

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正确答案是 A．

解    根据题意，$A$与$B$的交集即

$$\left\{ \left( {x , y} \right)|y = ax + b = 3{x^2} + 12 , x \in \mathcal Z \right\},$$ 于是$A \cap B$是否为空集取决于关于$x$的方程$ax + b = 3{x^2} + 12$是否存在整数解．

将$x$看作参数，需要考虑直线系$x \cdot a + b-3{x^2}-12 = 0$与圆${a^2} + {b^2} = 108$的位置关系．

原点到直线的距离为

$$\begin{split}\dfrac{{3{x^2} + 12}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}& = 3\sqrt {{x^2} + 1} + \frac{9}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\& > 2\sqrt {27} = \sqrt {108},\end{split}$$ 其中考虑到$x \in {\mathcal {Z}}$，等号无法取到．因此满足条件的点$\left( {a , b} \right)$不存在．

注    本题也可以从代数角度考虑，由方程$ax + b = 3{x^2} + 12$有解得到判别式$\Delta\geqslant 0$，即

$$a^2+12b-144\geqslant 0,$$ 与不等式$a^2+b^2\leqslant 108$结合可以得到 $$a=\pm 6\sqrt 2，b=6．$$ 此时方程$ax + b = 3{x^2} + 12$有唯一解，但不是整数，故“$\alpha$”点不存在．