每日一题[268] 残缺的藏宝图

2015年江苏省盐城市三模理科数学第14题：

若函数$f(x)=-\ln x+ax^2+bx-a-2b$有两个极值点$x_1,x_2$，其中$-\dfrac 12<a<0<b$，且$f\left(x_2\right)=x_2>x_1$，则方程$2a\left[f(x)\right]^2+bf(x)-1=0$的实根个数为_______．

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正确的答案是$5$个．

解    函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=\dfrac{2ax^2+bx-1}x,$$ 于是方程 $$2a\left[f(x)\right]^2+bf(x)-1=0$$ 的实根实际上就是复合函数$f'\left(f(x)\right)$的零点，其处理方法是从外向内逐层“剥开”．

根据以上分析，题中方程等价于

$$f(x)=x_1\lor f(x)=x_2,$$ 因此其实根个数就是函数$f(x)$的图象与直线$y=x_1$以及直线$y=x_2$的交点个数的总和．这样一来，如何准确做出函数$f(x)$的图象成了解决问题的关键．

如图，由$a<0$可以作出$f'(x)$的“示性函数”（决定函数值正负性质的部分因式）$y=2ax^2+bx-1$的草图．又函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，其在区间端点处的函数值$f(0+)=+\infty$，$f(+\infty)=-\infty$．此外题中告知$f\left(x_2\right)=x_2>0$．

结合导函数图象与函数在$0$、$x_2$、$+\infty$处的取值可以作出函数$f(x)$的部分图象（缺失极值点$x=x_1$处的信息）．据此“残图”可以确定直线$y=x_2$与函数$f(x)$的图象交点数为$2$．

为了确定函数$f(x)$的图象中残缺的部分，我们需要另外探寻一些特殊点．先考虑方程

$$2ax^2+bx-1=0,$$ 有 $$x_1+x_2=-\dfrac b{2a}\land x_1x_2=-\dfrac{1}{2a},$$ 进而可得 $$x_1+x_2\in\left(0,+\infty\right)\land x_1x_2\in\left(1,+\infty\right),$$ 这样一来，我们可以断定$x_2>1$，因此选择$x=1$为特殊点进行探索．

事实上，$f(1)=-b<0$，于是我们“勘探”出在$x=x_2$左侧的未知领域有一片“绿洲”（函数值小于$0$的部分），而$x=x_1$就是这片绿洲的中心小镇．这样就有$x_1>0>f\left(x_1\right)$，如图．这样直线$y=x_1$与函数$y=f(x)$的图象有$3$个交点．

综上，题中方程的实根个数为$5$．

最后给出一个近似准确的图象，其中$a=-0.3$，$b=4.788$．

注一     此类函数的零点问题在《函数的零点问题小结》一文中亦有提及．

注二    关于如何正确的画函数图形，可以参考《每日一题[261]画图也要有诀窍》．

注三     菁优网给出的解答（其中有漏洞）：

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/c61521a9-26e5-40ad-a722-c15d718391ce．