每日一题[267] 狡兔四窟

已知对任何实数\(x,y\)，不等式\[ax^2y^2+x^2+y^2-3xy+a-1\geqslant 0\]恒成立，求常数\(a\)的取值范围．

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正确答案是\(\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)\)．

解    这是一个典型的代数变形的题目，从元、次、形的角度分析可以得到这样的初步印象：“二元”、“变元独立”、“对称”、“四次”、“对每个元都是二次”、“非齐次”、“左侧为多项式”、“不等式”．这样就可以得到一些可以试探的方向：

方向一    “二元”+“对称”+消元策略

有代价的消元（因为没有限制方程）减少变元，得到必要条件，然后探索充分性；

方向二    “对称”+“左侧为多项式”+整形策略

利用对称进行配方，将变元“扼杀”在平方式中；

方向三    “变元独立”+“对每个元都是二次”+消元策略

考虑到变元独立，因此可以考虑将某个元视为主元，转化为二次函数简化问题；

方向四    “不等式”+整形策略

考虑分离变量，将含参函数转化为不含参的函数简化问题．

接下来付诸实施：

方法一

观察代数式可以知道当\(x,y\)异号时比同号时更容易成立，于是只需要考虑\(x,y\)同号的情形．注意到变元对称，于是令\(y=x\)，有\[ax^4-x^2+a-1\geqslant 0\]恒成立，不难解得\[a\geqslant \dfrac{1+\sqrt 2}2.\]这样就得到了必要条件．

而另一方面，不等式左边\[ax^2y^2+x^2+y^2-3xy+a-1\geqslant a(xy)^2-xy+a-1,\]而\(a\geqslant \dfrac{1+\sqrt 2}2\)时，一元二次方程\[ax^2-x+a-1=0\]的判别式的值小于等于零，于是\(a\geqslant \dfrac{1+\sqrt 2}2\)时可以保证\[a(xy)^2-xy+a-1\geqslant 0.\]这样就验证了充分性．

因此常数\(a\)的取值范围是\(\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)\)．

方法二

注意到变元对称，于是不等式可以变形为\[a\left(xy-\dfrac{1}{2a}\right)^2+(x-y)^2-\dfrac{1}{4a}+a-1\geqslant 0,\]其中\(a\neq 0\)（当\(a=0\)时显然不符合题意）．

进而可得\[\begin{cases}a>0,\\-\dfrac{1}{4a}+a-1\geqslant 0,\end{cases}\]解得常数\(a\)的取值范围为\(\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)\)．

方法三

视\(x\)为主元，则\[\forall x\in\mathcal R,\left(ay^2+1\right)\cdot x^2-3y\cdot x+y^2+a-1\geqslant 0,\]等价于\[\Delta_1 =9y^2-4\left(ay^2+1\right)\left(y^2+a-1\right)\leqslant 0,\]整理后问题等价转化为\[\forall y\in\mathcal R,4ay^4+\left(4a^2-4a-5\right)y^2+4(a-1)\geqslant 0.\]

令\(t=y^2\)，则问题转化为\[\forall t\geqslant 0,4at^2+\left(4a^2-4a-5\right)t+4(a-1)\geqslant 0.\]容易推得\(a>0\)．记左侧为\(g(t)\)，则该二次函数的对称轴为\(t=-\dfrac{4a^2-4a-5}{8a}\)，于是\(a\)的取值范围由\[\begin{cases}-\dfrac{4a^2-4a-5}{8a}\leqslant 0,\\g(0)\geqslant 0\end{cases}\lor\begin{cases}-\dfrac{4a^2-4a-5}{8a}>0,\\\Delta_2\leqslant 0,\end{cases}\]确定，解得常数\(a\)的取值范围为\(\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)\)．

方法四

分离变量，问题等价于\[\forall x,y\in\mathcal R,a\geqslant \dfrac{-x^2-y^2+3xy+1}{x^2y^2+1},\]于是转化为求\(\dfrac{-x^2-y^2+3xy+1}{x^2y^2+1}\)的最大值．

事实上，我们有\[\begin{split}\dfrac{-x^2-y^2+3xy+1}{x^2y^2+1}&\leqslant \dfrac{xy+1}{(xy)^2+1}\\&=\dfrac{xy+1}{(xy+1)^2-2(xy+1)+2}\\&=\dfrac{1}{(xy+1)+2/(xy+1)-2}\\&\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt 2-2}=\dfrac{1+\sqrt 2}{2},\end{split}\]等号当\(x=y\land xy+1=\sqrt 2\)时取得，于是常数\(a\)的取值范围是\(\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)\)．

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注    平时注意从多个角度思考代数变形问题，积累丰富的经验，就能做到解题时从容不迫，犹如“狡兔”一般从容面对题目的刁难．