已知对任何实数x,y，不等式ax2y2+x2+y2−3xy+a−1⩾0恒成立，求常数a的取值范围．
正确答案是[1+√22,+∞)．
解 这是一个典型的代数变形的题目，从元、次、形的角度分析可以得到这样的初步印象：“二元”、“变元独立”、“对称”、“四次”、“对每个元都是二次”、“非齐次”、“左侧为多项式”、“不等式”．这样就可以得到一些可以试探的方向：
方向一 “二元”+“对称”+消元策略
有代价的消元（因为没有限制方程）减少变元，得到必要条件，然后探索充分性；
方向二 “对称”+“左侧为多项式”+整形策略
利用对称进行配方，将变元“扼杀”在平方式中；
方向三 “变元独立”+“对每个元都是二次”+消元策略
考虑到变元独立，因此可以考虑将某个元视为主元，转化为二次函数简化问题；
方向四 “不等式”+整形策略
考虑分离变量，将含参函数转化为不含参的函数简化问题．
接下来付诸实施：
方法一
观察代数式可以知道当x,y异号时比同号时更容易成立，于是只需要考虑x,y同号的情形．注意到变元对称，于是令y=x，有ax4−x2+a−1⩾0恒成立，不难解得a⩾1+√22.这样就得到了必要条件．
而另一方面，不等式左边ax2y2+x2+y2−3xy+a−1⩾a(xy)2−xy+a−1,而a⩾1+√22时，一元二次方程ax2−x+a−1=0的判别式的值小于等于零，于是a⩾1+√22时可以保证a(xy)2−xy+a−1⩾0.这样就验证了充分性．
因此常数a的取值范围是[1+√22,+∞)．
方法二
注意到变元对称，于是不等式可以变形为a(xy−12a)2+(x−y)2−14a+a−1⩾0,其中a≠0（当a=0时显然不符合题意）．
进而可得{a>0,−14a+a−1⩾0,解得常数a的取值范围为[1+√22,+∞)．
方法三
视x为主元，则∀x∈R,(ay2+1)⋅x2−3y⋅x+y2+a−1⩾0,等价于Δ1=9y2−4(ay2+1)(y2+a−1)⩽0,整理后问题等价转化为∀y∈R,4ay4+(4a2−4a−5)y2+4(a−1)⩾0.
令t=y2，则问题转化为∀t⩾0,4at2+(4a2−4a−5)t+4(a−1)⩾0.容易推得a>0．记左侧为g(t)，则该二次函数的对称轴为t=−4a2−4a−58a，于是a的取值范围由{−4a2−4a−58a⩽0,g(0)⩾0∨{−4a2−4a−58a>0,Δ2⩽0,确定，解得常数a的取值范围为[1+√22,+∞)．
方法四
分离变量，问题等价于∀x,y∈R,a⩾−x2−y2+3xy+1x2y2+1,于是转化为求−x2−y2+3xy+1x2y2+1的最大值．
事实上，我们有−x2−y2+3xy+1x2y2+1⩽xy+1(xy)2+1=xy+1(xy+1)2−2(xy+1)+2=1(xy+1)+2/(xy+1)−2⩽12√2−2=1+√22,等号当x=y∧xy+1=√2时取得，于是常数a的取值范围是[1+√22,+∞)．
注 平时注意从多个角度思考代数变形问题，积累丰富的经验，就能做到解题时从容不迫，犹如“狡兔”一般从容面对题目的刁难．
方法三得出的关于Δ2的不等式是一个四次不等式而且试根试不出来，要怎么解啊？
令t=a(a−1)，就变成关于t的一个一元二次不等式了，然后就可以解了．