每日一题[24]函数方程试题一则

这次是2008年英国数学奥林匹克的一道试题（2008/9 British Mathematical Olympiad,Round 2）：

求所有的函数$f:\mathcal R\to \mathcal R$，使得对任意$x,y\in\mathcal R$有

$$f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left[f(x^2)+f(y^2)-f(xy)\right].$$

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 令$y=-x$，可得$f(-x^3)=-f(x^3)$，于是$f(x)$为奇函数；

令$y=x$，可得$f(x^3)=xf(x^2)$，于是

$$xf(x^2)+yf(y^2)=xf(x^2)+xf(y^2)+yf(x^2)+yf(y^2)-f(xy)(x+y),$$ 整理得 $$f(xy)(x+y)=xf(y^2)+yf(x^2).$$

分别令$y=1,y=-1$得

$$\begin{cases}(x+1)f(x)=xf(1)+f(x^2)\\ (x-1)f(-x)=xf(1)-f(x^2)\end{cases}$$ 两式相加即得 $$f(x)=xf(1).$$

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注    原题描述为：

Find all functions $f$ from the real numbers to the real numbers which satisfy

$$f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left[f(x^2)+f(y^2)-f(xy)\right]$$

for all the real numbers $x$ and $y$．