每日一题[24]函数方程试题一则

这次是2008年英国数学奥林匹克的一道试题（2008/9 British Mathematical Olympiad,Round 2）：

求所有的函数\(f:\mathcal R\to \mathcal R\)，使得对任意\(x,y\in\mathcal R\)有

\[f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left[f(x^2)+f(y^2)-f(xy)\right].\]

 令\(y=-x\)，可得\(f(-x^3)=-f(x^3)\)，于是\(f(x)\)为奇函数；

令\(y=x\)，可得\(f(x^3)=xf(x^2)\)，于是\[xf(x^2)+yf(y^2)=xf(x^2)+xf(y^2)+yf(x^2)+yf(y^2)-f(xy)(x+y),\]整理得\[f(xy)(x+y)=xf(y^2)+yf(x^2).\]

分别令\(y=1,y=-1\)得\[\begin{cases}(x+1)f(x)=xf(1)+f(x^2)\\ (x-1)f(-x)=xf(1)-f(x^2)\end{cases}\]两式相加即得\[f(x)=xf(1).\]

注    原题描述为：

Find all functions \(f\) from the real numbers to the real numbers which satisfy

\[f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left[f(x^2)+f(y^2)-f(xy)\right]\]

for all the real numbers \(x\) and \(y\)．