已知函数\(f(x)=ax-{\rm e}^x\)，若存在实数\(x\)，使得\(f(x)\geqslant 0\)，求\(a\)的取值范围．
正确答案是\((-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty)\)．
解 分离变量法
问题即\[\exists x\in \mathcal R,ax-{\rm e}^x\geqslant 0,\]也即\[\left(\exists x>0,a\geqslant \dfrac{{\rm e}^x}{x}\right)\lor \left(\exists x<0,a<\dfrac{{\rm e}^x}{x}\right),\]接下来需要绘制\(g(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x}\)的草图．
注意到函数\(g(x)\)的定义域为\((-\infty,0)\cup (0,+\infty)\)，且函数\(g(x)\)的导函数为\[g'(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}\cdot (x-1),\]于是函数在\((-\infty,0)\)，\((0,1)\)上单调递减，在\((1,+\infty)\)上单调递增．
于是绘制草图，如图．需要注意的是代表定义域的四个区间端点处的函数值的估计．五个要点任何一点没有注意到都容易引起错误．
进而不难得到\(a\)的取值范围是\((-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty)\)．
半分离变量法
问题即\[\exists x\in\mathcal R,ax\geqslant {\rm e}^x,\]于是计算函数\(y={\rm e}^x\)过原点的切线，作图如下：
不难得到\(a\)的取值范围是\((-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty)\)．
不分离变量法
函数\(f(x)\)的导函数\[f'(x)=a-{\rm e}^x,\]于是需要按\(a\)进行讨论．
当\(a<0\)时，\(f(x)\)单调递减．考虑到\(x\to -\infty\)时，\(f(x)\to +\infty\)，而当\(x\to +\infty\)时，\(f(x)\to -\infty\)．于是符合题意；
当\(a=0\)时，\(f(x)\)单调递减．考虑到\(x\to -\infty\)时，\(f(x)\to 0-\)，而当\(x\to +\infty\)时，\(f(x)\to -\infty\)．于是不符合题意；
当\(a>0\)时，函数\(f(x)\)有极大值，同时也是最大值，为\(f\left(\ln a\right)=a\left(\ln a-1\right)\)，根据题意，最大值不小于\(0\)，于是可以解得\(a\geqslant {\rm e}\)．
综上，\(a\)的取值范围是\((-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty)\)．