已知函数f(x)=ax−ex,若存在实数x,使得f(x)⩾,求a的取值范围.
正确答案是(-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty).
解 分离变量法
问题即\exists x\in \mathcal R,ax-{\rm e}^x\geqslant 0,也即\left(\exists x>0,a\geqslant \dfrac{{\rm e}^x}{x}\right)\lor \left(\exists x<0,a<\dfrac{{\rm e}^x}{x}\right),接下来需要绘制g(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x}的草图.
注意到函数g(x)的定义域为(-\infty,0)\cup (0,+\infty),且函数g(x)的导函数为g'(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}\cdot (x-1),于是函数在(-\infty,0),(0,1)上单调递减,在(1,+\infty)上单调递增.
于是绘制草图,如图.需要注意的是代表定义域的四个区间端点处的函数值的估计.五个要点任何一点没有注意到都容易引起错误.
进而不难得到a的取值范围是(-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty).
半分离变量法
问题即\exists x\in\mathcal R,ax\geqslant {\rm e}^x,于是计算函数y={\rm e}^x过原点的切线,作图如下:
不难得到a的取值范围是(-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty).
不分离变量法
函数f(x)的导函数f'(x)=a-{\rm e}^x,于是需要按a进行讨论.
当a<0时,f(x)单调递减.考虑到x\to -\infty时,f(x)\to +\infty,而当x\to +\infty时,f(x)\to -\infty.于是符合题意;
当a=0时,f(x)单调递减.考虑到x\to -\infty时,f(x)\to 0-,而当x\to +\infty时,f(x)\to -\infty.于是不符合题意;
当a>0时,函数f(x)有极大值,同时也是最大值,为f\left(\ln a\right)=a\left(\ln a-1\right),根据题意,最大值不小于0,于是可以解得a\geqslant {\rm e}.
综上,a的取值范围是(-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty).