每日一题[257] 冻结变量

有时候，我们需要处理三元的代数式最值问题．初学者往往因为被三个未知数迷惑而觉得无从下手．事实上，此时只需要冻结其中部分变量（暂时将其视为常数），问题就转化为单变元或二元情形，进而可以依托函数最值或二元 均值不等式处理了．虽然很多三元的代数式最值问题可以运用三元的均值不等式处理，但是熟练掌握此技巧正是代数变形的基本功，需要牢牢掌握．

设$a>b>c>0$，则$2a^2+\dfrac 1{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}-10ac+25c^2$的最小值是（        ）

A．$2$

B．$4$

C．$2\sqrt 5$

D．$5$

正确答案是 B．

解    先将$a,b$均视为常数，则原式为关于$c$的二次多项式，其中与$c$相关的部分 $$-10ac+25c^2\geqslant -a^2,$$ 其中等号当且仅当$c=\dfrac a5$时取得．

此时问题转化为二元问题，求 $$a^2+\dfrac {1}{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}$$ 的最小值．

将$a$视为常数，则原式中与$b$相关的部分 $$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2-ab},$$ 注意到此为两个和为定值的两个数的倒数和，因此  运用均值不等式，可得 $$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2-ab}\geqslant \dfrac{4}{a^2},$$ 其中等号当且仅当$b=\dfrac a2$时取得．

此时问题转化为单变元问题，求$a^2+\dfrac 4{a^2}$的最小值，容易求得当$a=\sqrt{2}$时，该式取得最小值为$4$．

注   运用均值不等式的部分也可以由柯西不等式直接得到．

下面再给一个简单例子，可以无需使用三元不等式．

已知$a+b+c=6$，求$a^2+b^2+c^2$的最小值．

解    视$a$为常数，将问题转化为

已知$b+c=6-a$，求$b^2+c^2$的最小值．

显然有 $$b^2+c^2\geqslant \dfrac 12(b+c)^2=\dfrac 12(6-a)^2,$$ 于是原问题转化为求二次多项式$a^2+\dfrac 12(6-a)^2$的最小值，进而易得当$a=2$时，原式取得最小值为$12$．

最后一题留给读者做练习．

已知$a,b,c>0$，且$a(a+b+c)+bc=4-2\sqrt 3$，求$2a+b+c$的最小值．（$2\sqrt 3-2$）

提示    视$a$为常数，则 $$a(b+c)+bc=4-2\sqrt 3-a^2,$$ 于是 $$4-2\sqrt 3-a^2\leqslant a(b+c)+\dfrac{(b+c)^2}4,$$ 即 $$\left[\dfrac 12(b+c)+a\right]^2\geqslant 4-2\sqrt 3,$$ 即 $$\dfrac12(b+c)+a\geqslant \sqrt 3-1,$$ 因此$2a+b+c$的最小值为$2\sqrt 3-2$．