每日一题[257] 冻结变量

有时候，我们需要处理三元的代数式最值问题．初学者往往因为被三个未知数迷惑而觉得无从下手．事实上，此时只需要冻结其中部分变量（暂时将其视为常数），问题就转化为单变元或二元情形，进而可以依托函数最值或二元 均值不等式处理了．虽然很多三元的代数式最值问题可以运用三元的均值不等式处理，但是熟练掌握此技巧正是代数变形的基本功，需要牢牢掌握．

设\(a>b>c>0\)，则\(2a^2+\dfrac 1{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}-10ac+25c^2\)的最小值是（        ）

A．\(2\)

B．\(4\)

C．\(2\sqrt 5\)

D．\(5\)

正确答案是 B．

解    先将\(a,b\)均视为常数，则原式为关于\(c\)的二次多项式，其中与\(c\)相关的部分\[-10ac+25c^2\geqslant -a^2,\]其中等号当且仅当\(c=\dfrac a5\)时取得．

此时问题转化为二元问题，求\[a^2+\dfrac {1}{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}\]的最小值．

将\(a\)视为常数，则原式中与\(b\)相关的部分\[\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2-ab},\]注意到此为两个和为定值的两个数的倒数和，因此  运用均值不等式，可得\[\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2-ab}\geqslant \dfrac{4}{a^2},\]其中等号当且仅当\(b=\dfrac a2\)时取得．

此时问题转化为单变元问题，求\(a^2+\dfrac 4{a^2}\)的最小值，容易求得当\(a=\sqrt{2}\)时，该式取得最小值为\(4\)．

注   运用均值不等式的部分也可以由柯西不等式直接得到．

下面再给一个简单例子，可以无需使用三元不等式．

已知\(a+b+c=6\)，求\(a^2+b^2+c^2\)的最小值．

解    视\(a\)为常数，将问题转化为

已知\(b+c=6-a\)，求\(b^2+c^2\)的最小值．

显然有\[b^2+c^2\geqslant \dfrac 12(b+c)^2=\dfrac 12(6-a)^2,\]于是原问题转化为求二次多项式\(a^2+\dfrac 12(6-a)^2\)的最小值，进而易得当\(a=2\)时，原式取得最小值为\(12\)．

最后一题留给读者做练习．

已知\(a,b,c>0\)，且\(a(a+b+c)+bc=4-2\sqrt 3\)，求\(2a+b+c\)的最小值．（\(2\sqrt 3-2\)）

提示    视$a$为常数，则$$a(b+c)+bc=4-2\sqrt 3-a^2,$$于是$$4-2\sqrt 3-a^2\leqslant a(b+c)+\dfrac{(b+c)^2}4,$$即$$\left[\dfrac 12(b+c)+a\right]^2\geqslant 4-2\sqrt 3,$$即$$\dfrac12(b+c)+a\geqslant \sqrt 3-1,$$因此$2a+b+c$的最小值为$2\sqrt 3-2$．