每日一题[259] 德艺双馨

在我看来,数学能力由相辅相成的两部分组成:偏感性的直觉、观察能力、创造思维、发散思维;偏理性的验证、运算能力、逻辑思维、聚焦思维.今天再带来一道同时融合代数运算与几何观察的试题.

如图,已知半径为1的半圆O以及圆外一点AOA=2.点B为圆O上任意一点,以AB为底向外作正三角形ABC

QQ20150930-4

(1)求四边形OACB面积的最大值;

(2)求线段OC长度的最大值.


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   (1)将四边形划分为两个均以AB为底的三角形.

QQ20150930-5

为了求四边形OACB面积的最大值,我们引入变量x=AOBx[0,π].建立四边形OACB面积与x的函数关系式S(x)=12OAOBsinx+34(OA2+OB22OAOBcosx)=sinx3cosx+534=2sin(xπ3)+534,于是当x=5π6时,S(x)取得最大值2+534

(2)将O绕点A旋转π3O,则三角形AOB与三角形AOC旋转全等,如图.

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于是OC的最大值为OO+OC=3,当且仅当AOB=2π3时取得.

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