在我看来,数学能力由相辅相成的两部分组成:偏感性的直觉、观察能力、创造思维、发散思维;偏理性的验证、运算能力、逻辑思维、聚焦思维.今天再带来一道同时融合代数运算与几何观察的试题.
如图,已知半径为1的半圆O以及圆外一点A,OA=2.点B为圆O上任意一点,以AB为底向外作正三角形ABC.
(1)求四边形OACB面积的最大值;
(2)求线段OC长度的最大值.
解 (1)将四边形划分为两个均以AB为底的三角形.
为了求四边形OACB面积的最大值,我们引入变量x=∠AOB,x∈[0,π].建立四边形OACB面积与x的函数关系式S(x)=12⋅OA⋅OB⋅sinx+√34(OA2+OB2−2⋅OA⋅OB⋅cosx)=sinx−√3cosx+5√34=2sin(x−π3)+5√34,于是当x=5π6时,S(x)取得最大值2+5√34.
(2)将O绕点A旋转π3到O′,则三角形AOB与三角形AO′C旋转全等,如图.
于是OC的最大值为OO′+O′C=3,当且仅当∠AOB=2π3时取得.
注 上一次是情人节 每日一题[27] 德艺双馨.