每日一题[259] 德艺双馨

在我看来，数学能力由相辅相成的两部分组成：偏感性的直觉、观察能力、创造思维、发散思维；偏理性的验证、运算能力、逻辑思维、聚焦思维．今天再带来一道同时融合代数运算与几何观察的试题．

如图，已知半径为$1$的半圆$O$以及圆外一点$A$，$OA=2$．点$B$为圆$O$上任意一点，以$AB$为底向外作正三角形$ABC$．

（1）求四边形$OACB$面积的最大值；

（2）求线段$OC$长度的最大值．

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解    （1）将四边形划分为两个均以$AB$为底的三角形．

为了求四边形$OACB$面积的最大值，我们引入变量$x=\angle AOB$，$x\in\left[ 0,\pi\right]$．建立四边形$OACB$面积与$x$的函数关系式

$$\begin{split}S(x)&=\dfrac 12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin x+\dfrac{\sqrt 3}4\left(OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot\cos x\right)\\&=\sin x-\sqrt 3\cos x+\dfrac {5\sqrt 3}4\\&=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}3\right)+\dfrac{5\sqrt 3}4,\end{split}$$ 于是当$x=\dfrac{5\pi}6$时，$S(x)$取得最大值$2+\dfrac{5\sqrt 3}4$．

（2）将$O$绕点$A$旋转$\dfrac{\pi}3$到$O'$，则三角形$AOB$与三角形$AO'C$旋转全等，如图．

于是$OC$的最大值为$OO'+O'C=3$，当且仅当$\angle AOB=\dfrac{2\pi}3$时取得．

注    上一次是情人节 每日一题[27] 德艺双馨．