函数不等式相关的问题解决思路通常是“通过函数的单调性将函数不等式转化成自变量相关的不等式”，但有时函数的单调区间比较复杂，直接用单调性无法解决问题，这时往往就需要借助函数的图象寻找突破口了．
2013年天津高考理科第8题（选择压轴题）：
已知函数\(f(x)=x(1+a|x|)\)，设关于\(x\)的不等式\(f(x+a)<f(x)\)的解集为\(M\)，若\(\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]\subseteq M\)，则实数\(a\)的取值范围是____．
本题答案是\(\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2},0\right)\).
解 首先我们能得到\(f(x)\)为奇函数，单调区间的情况与\(a\)的正负有关，且\(a\ne 0\)．
当\(a>0\)时，\(f(x)\)在\(\mathcal{R}\)上单调递增，不等式不可能成立．
所以\(a<0\)，此时\(f(x)\)的草图如下（可以先画出\([0,+\infty)\)的部分再对称过来）
此函数在整个定义域上没有单调性，无法直接将函数不等式转化成与自变量相关的不等式，
我们需要从函数的图象出发，看看函数不等式\(f(x+a)<f(x)\)有什么直观意义：
取\(A(x,f(x))\)，\(B(x+a,f(x+a))\)，当\(A\)点与\(B\)点在函数图象上变动时，点\(B\)在点\(A\)的下方时对应的\(A\)点的横坐标满足函数不等式，如图：
因为\(x=0\)时，不等式成立，所以我们有\(f(a)<0\)，故\(a>\dfrac 1a\)，解得\(-1<a<0\).
从而\(-\dfrac{1}{2a}>\dfrac 12\)，结合图象知要满足\(\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]\subseteq M\)，只需考虑\(x=-\dfrac 12\)的情况即可，当\(\dfrac{-\dfrac 12-\dfrac 12+a}{2}>\dfrac{1}{2a}\)时，有\(f\left(-\dfrac 12+a\right)<f\left(-\dfrac 12\right)\)，解得\(a>\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\).
事实上我们可以找到满足条件的点\(A\)的两个边界情况，如下：
可以得到集合\(M=\left(\dfrac{1}{2a}-\dfrac a2,-\dfrac{1}{2a}-\dfrac a2\right)\).
注 类似问题见 每日一题[221] 愚公移山．