每日一题[256] 滑动窗口

函数不等式相关的问题解决思路通常是“通过函数的单调性将函数不等式转化成自变量相关的不等式”，但有时函数的单调区间比较复杂，直接用单调性无法解决问题，这时往往就需要借助函数的图象寻找突破口了．

2013年天津高考理科第8题（选择压轴题）：

已知函数$f(x)=x(1+a|x|)$，设关于$x$的不等式$f(x+a)<f(x)$的解集为$M$，若$\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]\subseteq M$，则实数$a$的取值范围是____．

本题答案是$\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2},0\right)$.

解　首先我们能得到$f(x)$为奇函数，单调区间的情况与$a$的正负有关，且$a\ne 0$．

当$a>0$时，$f(x)$在$\mathcal{R}$上单调递增，不等式不可能成立．

所以$a<0$，此时$f(x)$的草图如下（可以先画出$[0,+\infty)$的部分再对称过来）

此函数在整个定义域上没有单调性，无法直接将函数不等式转化成与自变量相关的不等式，

我们需要从函数的图象出发，看看函数不等式$f(x+a)<f(x)$有什么直观意义：

取$A(x,f(x))$，$B(x+a,f(x+a))$，当$A$点与$B$点在函数图象上变动时，点$B$在点$A$的下方时对应的$A$点的横坐标满足函数不等式，如图：

因为$x=0$时，不等式成立，所以我们有$f(a)<0$，故$a>\dfrac 1a$，解得$-1<a<0$.

从而$-\dfrac{1}{2a}>\dfrac 12$，结合图象知要满足$\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]\subseteq M$，只需考虑$x=-\dfrac 12$的情况即可，当$\dfrac{-\dfrac 12-\dfrac 12+a}{2}>\dfrac{1}{2a}$时，有$f\left(-\dfrac 12+a\right)<f\left(-\dfrac 12\right)$，解得$a>\dfrac{1-\sqrt 5}{2}$.

事实上我们可以找到满足条件的点$A$的两个边界情况，如下：

可以得到集合$M=\left(\dfrac{1}{2a}-\dfrac a2,-\dfrac{1}{2a}-\dfrac a2\right)$.

注　类似问题见 每日一题[221] 愚公移山．