每日一题[20] 代数条件的直观化

这是2013年全国新课标I卷理科数学的选择题最后一题（第12题），主要考察变化中的规律探索．同时，本题也是代数条件直观化的一道好题．数形结合思想最强大、最优美的一面就是：对繁杂晦涩的代数算式运用几何直观的方式将蕴含的本质挖掘出来，从而使得问题获得极大简化．

设三角形$A_nB_nC_n$的三边长分别为$a_n,b_n,c_n$，三角形$A_nB_nC_n$的面积为$S_n$，$n=1,2,3,\cdots$，若$b_1>c_1$，$b_1+c_1=2a_1$，且满足

$$\begin{split}a_{n+1}&=a_n,\\b_{n+1}&=\frac{c_n+a_n}2,\\c_{n+1}&=\frac{b_n+a_n}2,\end{split}$$ 则（        ）

A．$\{S_n\}$为递减数列

B．$\{S_n\}$为递增数列

C．$\{S_{2n-1}\}$为递增数列，$\{S_{2n}\}$为递减数列

D．$\{S_{2n-1}\}$为递减数列，$\{S_{2n}\}$为递增数列

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正确答案是B．

首先，先将条件$b_1>c_1$和$b_1+c_1=2a_1$直观化，这是容易的，假想数轴上从左到右顺次三个点分别表示$c_1,a_1,b_1$，其中$a_1$表示的点为中点，如图．

接下来，根据已知条件$a_n$表示的点位置保持不变，而$b_{n+1}$表示的点为$c_n$与$a_n$表示的两点的中点，$c_{n+1}$表示的点为$b_n$与$a_n$表示的两点的中点，如图．

这样我们就发现三个关键：①$b_n$与$c_n$的和为定值；②$b_n$与$c_n$的距离越来越近；③$b_n$与$c_n$的大小关系不停的交换．

循此思路，将以上三点选择合适的几何载体表示出来（注意，①给了我们足够的启示：椭圆），如图．

因此$S_n$逐步增大，选项B是正确的．