每日一题[19] 解三角形试题的一题两解

平面向量、三角和复数是代数与几何在高中数学中融合最为紧密的部分，在这些部分中一题多解也是最为常见的．今天就给大家带来一道自主招生训练题，一起来感受一下．

如图，\(P\)为三角形\(ABC\)内部一点，且满足\(\angle BAP=\angle CAP=\angle CBP=\angle ACP\)，求证：\(BC^2=AC\cdot AB\)．

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法一    三角方法

根据燕尾定理，我们有\[\angle BPC=A+B,\angle CPA=B+C,\angle APB=C+A.\]

于是，在三角形\(BPC\)中，由正弦定理有\[\frac{BC}{\sin\angle BPC}=\frac{PC}{\sin\angle CBP},\]在三角形\(PAC\)中，由正弦定理有\[\frac{AC}{\sin\angle CPA}=\frac{PC}{\sin\angle CAP},\]而根据已知条件有\(\angle CBP=\angle CAP\)，因此\[\frac{BC}{\sin\angle BPC}=\frac{AC}{\sin\angle CPA},\]即\[\frac{BC}{\sin(A+B)}=\frac{AC}{\sin(B+C)},\]也即\[\frac{BC}{\sin C}=\frac{AC}{\sin A}.\]同时，在三角形\(ABC\)中，由正弦定理有\[\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A},\]两式相比，整理即得\[BC^2=AC\cdot AB.\]

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法二    几何方法

不妨设\(\angle ABP>\angle CBP\)（如果相等，那么\(P\)为三角形\(ABC\)的内心，继而\(ABC\)为正三角形，命题显然成立）．

在边\(AC\)上取一点\(Q\)，使得\(\angle QBP=\angle PBC\)，连接\(PQ\)．

\(\because\angle QBP=\angle PAQ\)

\(\therefore A,B,P,Q\)四点共圆

\(\therefore\angle PQC=\angle PBA\)

又\(PC=PA\)，\(\angle PCQ=\angle PAB\)

\(\therefore\triangle PCQ\cong\triangle PAB\)

\(\therefore CQ=AB\)

又\(\triangle CBQ\sim\triangle CAB\)

\(\therefore CB^2=CQ\cdot CA\)

于是\(BC^2=AB\cdot CA\)，命题得证．

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这次还给大家带来了两道练习题哦，可以从三角和几何两个不同的角度思考．

第一题    如图，\(\angle ABC=\angle ADC=90^\circ\)，\(\angle BAD=60^\circ\)，\(BC=2CD=2\)，求\(AC\)．

第二题    如图，在等腰三角形\(ABC\)中，已知\(A=100^\circ\)，\(B\)的平分线交\(AC\)于\(D\)，求证：\(AD+DB=BC\)．