含有可变参数λ的方程Fλ(x,y)=0表示的一系列曲线,我们称之为曲线系.曲线系可以看做是曲线随着可变参数的变化而运动所形成的图形.如平行直线系2x−y+λ=0表示所有斜率为2的直线;同心圆系x2+y2=λ2表示圆心在原点的所有圆(原点看作特殊的圆).探索曲线系(以直线系和圆系最为常见)中是否存在某种特殊图形是高考中经常考查的重点和难点.解决此类问题的关键是准确理解曲线系的形成过程,从而把握曲线系的性质.
已知圆M:(x+cosθ)2+(y−sinθ)2=1,直线y=kx,下面四个命题:
① 对任意实数k与θ,直线l和圆M相切;
② 对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点;
③ 对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切;
④ 对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切.
其中真命题的代号是______.(写出所有真命题的代号)
正确的答案是 ②④.
解 圆M表示半径为1,圆心为(−cosθ,sinθ)的圆,随着参数θ的变化,圆M的圆心在单位圆上运动.
直线y=kx表示过原点且斜率存在(为k)的直线.因此对四个命题有以下判断:
① 可能相切,也有可能相交;
② 原点必然为公共点;
③ 由于直线系中缺失y轴,于是当圆心为(±1,0)时,不存在形如“y=kx的方程所表示的直线l与圆M相切;
④ 对任何一条直线系中的直线,只需要过原点作其垂线与单位圆相交,取圆系中以交点为圆心的圆即得.
因此不难得到正确答案为 ②④.
最后给出一道练习.
设直线系M:xcosθ+(y−2)sinθ=1,0⩽θ⩽2π,对于下列四个命题:
① M中所有直线均经过一个定点;
② 存在定点P不在M中的任一条直线上;
③ 对于任意整数n(n⩾3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上;
④ M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题的代号是_____(写出所有真命题的代号).
答案 ②③.
提示 注意到点(0,2)到直线M的距离为|0⋅cosθ+(2−2)⋅sinθ−1|√cos2θ+sin2θ=1为定值,于是直线系为圆x2+(y−2)2=1的切线系.
④ 是容易判断为真的命题,事实上,图中的圆可能为正三角形的内切圆,也有可能为正三角形的旁切圆.