每日一题[249] 曲线系

含有可变参数$\lambda$的方程$F_{\lambda}\left(x,y\right)=0$表示的一系列曲线，我们称之为曲线系．曲线系可以看做是曲线随着可变参数的变化而运动所形成的图形．如平行直线系$2x-y+\lambda=0$表示所有斜率为$2$的直线；同心圆系$x^2+y^2=\lambda^2$表示圆心在原点的所有圆（原点看作特殊的圆）．探索曲线系（以直线系和圆系最为常见）中是否存在某种特殊图形是高考中经常考查的重点和难点．解决此类问题的关键是准确理解曲线系的形成过程，从而把握曲线系的性质．

已知圆$M$：$(x+\cos \theta)^2+(y-\sin\theta)^2=1$，直线$y=kx$，下面四个命题：

① 对任意实数$k$与$\theta$，直线$l$和圆$M$相切；

② 对任意实数$k$与$\theta$，直线$l$和圆$M$有公共点；

③ 对任意实数$\theta$，必存在实数$k$，使得直线$l$和圆$M$相切；

④ 对任意实数$k$，必存在实数$\theta$，使得直线$l$与圆$M$相切．

其中真命题的代号是______．（写出所有真命题的代号）

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正确的答案是 ②④．

解    圆$M$表示半径为$1$，圆心为$\left(-\cos\theta,\sin\theta\right)$的圆，随着参数$\theta$的变化，圆$M$的圆心在单位圆上运动．

直线$y=kx$表示过原点且斜率存在（为$k$）的直线．因此对四个命题有以下判断：

① 可能相切，也有可能相交；

② 原点必然为公共点；

③ 由于直线系中缺失$y$轴，于是当圆心为$\left(\pm 1,0\right)$时，不存在形如“$y=kx$的方程所表示的直线$l$与圆$M$相切；

④ 对任何一条直线系中的直线，只需要过原点作其垂线与单位圆相交，取圆系中以交点为圆心的圆即得．

因此不难得到正确答案为 ②④．

最后给出一道练习．

设直线系$M$：$x\cos\theta+(y-2)\sin\theta=1$，$0\leqslant\theta\leqslant 2\mathrm{\pi}$，对于下列四个命题：

① $M$中所有直线均经过一个定点；

② 存在定点$P$不在$M$中的任一条直线上；

③ 对于任意整数$n$（$n\geqslant 3$），存在正$n$边形，其所有边均在$M$中的直线上；

④ $M$中的直线所能围成的正三角形面积都相等．

其中真命题的代号是_____（写出所有真命题的代号）.

答案    ②③．

提示    注意到点$(0,2)$到直线$M$的距离为

$$\dfrac{\left|0\cdot\cos\theta+\left(2-2\right)\cdot\sin\theta-1\right|}{\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}}=1$$ 为定值，于是直线系为圆$x^2+\left(y-2\right)^2=1$的切线系．

④ 是容易判断为真的命题，事实上，图中的圆可能为正三角形的内切圆，也有可能为正三角形的旁切圆．