每日一题[243] 安全系数

题目的灵感来自游戏 icube（并且有理由怀疑这个游戏的灵感来自于苹果旗舰店）．

想象把一个半径为$1$的单位球放进一另一个半径为$r$（$r>0$）的大球中滚动，那么大球内壁中的任何一个点都可以被小球碾压，也就是对球体而言，表面（面积为$S=4\pi r^2$）上安全的区域面积$P$为$0$，于是我们说半径为$r$的球的安全系数

$$\lambda (r)=\dfrac {P}{S}=0.$$

而棱长为$a$的正方体安全系数会好一些，为

$$\lambda (a)=4\cdot\dfrac{a-1}{a^2},a>2,$$ 现在的问题是，相同表面积的正方体和正四面体，哪个安全系数高一些？

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解    和处理正方体的方式类似，正四面体的情形每个面的安全区域如图所示：

难点在于确定安全区域的宽度．为此，作单位球的外切正四面体，那么切点到其所在的面的任意一边的距离即安全区域的宽度．

用四面体的外接平行六面体方法可以求得单位球的外切正四面体的棱长为$2\sqrt 6$，于是安全区域的宽度为$\sqrt 2$，进而可得危险区域与整个区域的相似比为

$$\left(\dfrac{\sqrt 3}2a-3\sqrt 2\right):\dfrac{\sqrt 3}2a=\left(a-2\sqrt 6\right):a,$$ 于是安全系数为 $$1-\left(\dfrac{a-2\sqrt 6}a\right)^2=4\sqrt 6\cdot\dfrac{a-\sqrt 6}{a^2},$$ 其中$a\geqslant 2\sqrt 6$．下图为正方体和正四面体的安全系数与棱长的函数关系图．

事实上，直接比较二者的安全系数可知，正四面体的安全系数高于正方体．这也和我们的感觉保持一致，地震的时候果然应该躲在狭窄的空间比较安全啊！