每日一题[239] 格物致知

2013年全国高中数学联赛湖北省预赛试题：

从集合\(\{1,2,3,\cdots,30\}\)中取出\(5\)个不同的数，使这五个数构成等差数列，则可以得到的不同的等差数列的个数为_______．

正确答案是\(196\)．

先将问题削弱到取出\(3\)个不同的数．此时有个不错的想法是只要确定数列的首项和末项，那么数列的中项就确定了．为了使得数列的中项为整数，我们需要数列的首项和末项同时为奇数或同时为偶数．于是所求的不同的等差数列数为\(2{\rm A}_{15}^2=420\)．

回到这个问题，按奇偶划分就不能解决症结了．实际上，上面的做法中奇偶并不是本质，本质是找到两个数，它们的差可以支持中间“分区”为整数，也就是差应该为\(2\)的倍数．因此按\(2\)为模进行同余分划即可(即按照奇数与偶数分成两个区）．

那么按照这个思路，首项和末项必须相差\(4\)的倍数，我们应该按模\(4\)进行同余分划（即按照\(4k,4k+1,4k+2,4k+3\)分成四个区，每个区为一个同余类），然后在每个同余类中找两个数分别作为首项和末项即可，于是所求的不同的等差数列数为\[2{\rm A}_8^2+2{\rm A}_7^2=196.\]

古语有云：“格物致知”，意思是探究事物的原理，从而获得知识．在这道题中，仔细挖掘“奇偶”背后的道理，才能获得新的知识．