每日一题[14] 共圆的向量表达

共线向量和共圆向量是向量问题中两种最重要的向量．共线向量的表达一般利用\[\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\]进行，那么如何恰当的表达共圆向量呢？ 如图，已知扇形\(AOB\)的圆心角为\(120^\circ\)，\(P\)为弧\(AB\)上一点，\(\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}\)．求\(x+y\)的取值范围． 法一（代数方法） 不妨设扇形的半径为\(1\)．根据已知条件，有\[\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OP}=\left(x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}\right)\cdot\left(x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}\right),x,y\geqslant 0\] 于是\[1=x^2-xy+y^2.\] 因此\[xy=\frac{(x+y)^2-1}3\leqslant \left(\frac{x+y}2\right)^2,\] 解得\[x+y\leqslant 2,"=" iff x=y=1.\] 又\[(x+y)^2\geqslant x^2-xy+y^2=1,\] 于是\[x+y\geqslant 1,"="\  iff\ xy=0.\] 这样，就得到\(x+y\)的取值范围是\([1,2]\)．

注　iff表示当且仅当．

 法二（几何方法） 连接\(AB\)，作弧\(AB\)的切线\(l\)使得\(l\parallel AB\)，设切点为\(M\)．连接\(OM\)交\(AB\)于\(N\)． 我们熟知，若点\(P\)落在直线\(AB\)上，则\[x+y=1.\] 而由已知条件不难推知\(OM=2ON\)，于是若点\(P\)落在切线\(l\)上，则\[x+y=2.\] 事实上，弧\(AB\)落在直线\(AB\)和切线\(l\)之间，于是\(x+y\)的取值范围是\([1,2]\)．

想想看，如果求\(x+2y\)的取值范围，该如何思考呢？