设点\({G_1}\)、\({G_2}\)分别为\(\triangle{A_1}{B_1}{C_1}\)和\(\triangle{A_2}{B_2}{C_2}\)的重心，若\(\overrightarrow{{A_1}{A_2}}=\overrightarrow{{e_1}}\)，\(\overrightarrow{{B_1}{B_2}}=\overrightarrow{{e_2}}\)，\(\overrightarrow{{C_1}{C_2}}=\overrightarrow{{e_3}}\)，则\(\overrightarrow{{G_1}{G_2}}=\)________．
正确答案是\(\dfrac 13\left({\overrightarrow{{e_1}}+\overrightarrow{{e_2}}+\overrightarrow{{e_3}}}\right)\)．
我们熟知\({G_1}\)为\(\triangle{A_1}{B_1}{C_1}\)的重心，即\[\overrightarrow{{G_1}{A_1}}+\overrightarrow{{G_1}{B_1}}+\overrightarrow{{G_1}{C_1}}=\overrightarrow 0 ,\]同时\[\overrightarrow{{G_2}{A_2}}+\overrightarrow{{G_2}{B_2}}+\overrightarrow{{G_2}{C_2}}=\overrightarrow 0,\]
注意到\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB},\]
于是由\[\begin{split}\overrightarrow{{G_1}{A_1}}+\overrightarrow{{G_1}{B_1}}+\overrightarrow{{G_1}{C_1}}=\overrightarrow 0\\\overrightarrow{{A_2}{G_2}}+\overrightarrow{{B_2}{G_2}}+\overrightarrow{{C_2}{G_2}}=\overrightarrow 0\end{split}\]
得\[\quad 3\overrightarrow{{G_1}{G_2}}+\overrightarrow{{A_2}{A_1}}+\overrightarrow{{B_2}{B_1}}+\overrightarrow{{C_2}{C_1}}=\overrightarrow 0 \\\Rightarrow\overrightarrow{{G_1}{G_2}}=\dfrac 13\left({\overrightarrow{{e_1}}+\overrightarrow{{e_2}}+\overrightarrow{{e_3}}}\right).\]