每日一题[13] 重心的向量表达

设点${G_1}$、${G_2}$分别为$\triangle{A_1}{B_1}{C_1}$和$\triangle{A_2}{B_2}{C_2}$的重心，若$\overrightarrow{{A_1}{A_2}}=\overrightarrow{{e_1}}$，$\overrightarrow{{B_1}{B_2}}=\overrightarrow{{e_2}}$，$\overrightarrow{{C_1}{C_2}}=\overrightarrow{{e_3}}$，则$\overrightarrow{{G_1}{G_2}}=$________．

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正确答案是$\dfrac 13\left({\overrightarrow{{e_1}}+\overrightarrow{{e_2}}+\overrightarrow{{e_3}}}\right)$．

我们熟知${G_1}$为$\triangle{A_1}{B_1}{C_1}$的重心，即

$$\overrightarrow{{G_1}{A_1}}+\overrightarrow{{G_1}{B_1}}+\overrightarrow{{G_1}{C_1}}=\overrightarrow 0 ,$$ 同时 $$\overrightarrow{{G_2}{A_2}}+\overrightarrow{{G_2}{B_2}}+\overrightarrow{{G_2}{C_2}}=\overrightarrow 0,$$

注意到

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB},$$

于是由

$$\begin{split}\overrightarrow{{G_1}{A_1}}+\overrightarrow{{G_1}{B_1}}+\overrightarrow{{G_1}{C_1}}=\overrightarrow 0\\\overrightarrow{{A_2}{G_2}}+\overrightarrow{{B_2}{G_2}}+\overrightarrow{{C_2}{G_2}}=\overrightarrow 0\end{split}$$

得

$$\quad 3\overrightarrow{{G_1}{G_2}}+\overrightarrow{{A_2}{A_1}}+\overrightarrow{{B_2}{B_1}}+\overrightarrow{{C_2}{C_1}}=\overrightarrow 0 \\\Rightarrow\overrightarrow{{G_1}{G_2}}=\dfrac 13\left({\overrightarrow{{e_1}}+\overrightarrow{{e_2}}+\overrightarrow{{e_3}}}\right).$$