每日一题[234] 分离变量

2014年高考天津卷理科数学第14题：

已知函数$f(x)=\left|x^2+3x\right|$，$x\in\mathcal R$．若方程$f(x)-a\left|x-1\right|=0$恰有$4$个互异的实数根，则实数$a$的取值范围是_______．

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正确答案是$(0,1)\cup (9,+\infty)$．

解    换元，令$t=x-1$，则问题转化为方程

$$\left|(t+1)^2+3(t+1)\right|-a|t|=0$$ 有$4$个互异的实数根，也即方程 $$a=\left|t+\dfrac 4t+5\right|$$ 有$4$个互异的实数根．

如图，作出函数$y=\left|x+\dfrac 4x+5\right|$的图象，其极大值点为$(-2,1)$，极小值点为$(2,9)$，于是可得实数$a$的取值范围是$(0,1)\cup (9,+\infty)$．

注    处理含参数的函数$f(x,a)=0$零点问题一般有三种处理方式：

1、不分离

直接根据参数$a$讨论函数图象，并研究其零点；

2、半分离

将方程转化为$g(x)=kx+b$的形式，然后利用直线与曲线的位置关系研究；

3、全分离

将方程转化为$g(x)=h(a)$的形式，然后研究方程$t=g(x)$的零点得到$t$的取值范围后将该范围转化为$a$的取值范围．

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下面给出一道练习题．

（2014年·天津·文14）已知函数$f(x)=\begin{cases}\left|x^2+5x+4\right|,&x\leqslant 0\\2|x-2|,&x>0.\end{cases}$若函数$y=f(x)-a|x|$恰有$4$个零点，则实数$a$的取值范围是_______．

答案    $(1,2)$

提示    如图．