每日一题[234] 分离变量

2014年高考天津卷理科数学第14题:

已知函数f(x)=|x2+3x|xR.若方程f(x)a|x1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围是_______.


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正确答案是(0,1)(9,+)

   换元,令t=x1,则问题转化为方程|(t+1)2+3(t+1)|a|t|=04个互异的实数根,也即方程a=|t+4t+5|4个互异的实数根.

QQ20150909-2

如图,作出函数y=|x+4x+5|的图象,其极大值点为(2,1),极小值点为(2,9),于是可得实数a的取值范围是(0,1)(9,+)

   处理含参数的函数f(x,a)=0零点问题一般有三种处理方式:

1、不分离

直接根据参数a讨论函数图象,并研究其零点;

2、半分离

将方程转化为g(x)=kx+b的形式,然后利用直线与曲线的位置关系研究;

3、全分离

将方程转化为g(x)=h(a)的形式,然后研究方程t=g(x)的零点得到t的取值范围后将该范围转化为a的取值范围.


下面给出一道练习题.

(2014年·天津·文14)已知函数f(x)={|x2+5x+4|,x02|x2|,x>0.若函数y=f(x)a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围是_______.

答案    (1,2)

提示    如图.

QQ20150909-3

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