2014年高考天津卷理科数学第14题:
已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)−a|x−1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围是_______.
正确答案是(0,1)∪(9,+∞).
解 换元,令t=x−1,则问题转化为方程|(t+1)2+3(t+1)|−a|t|=0有4个互异的实数根,也即方程a=|t+4t+5|有4个互异的实数根.
如图,作出函数y=|x+4x+5|的图象,其极大值点为(−2,1),极小值点为(2,9),于是可得实数a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞).
注 处理含参数的函数f(x,a)=0零点问题一般有三种处理方式:
1、不分离
直接根据参数a讨论函数图象,并研究其零点;
2、半分离
将方程转化为g(x)=kx+b的形式,然后利用直线与曲线的位置关系研究;
3、全分离
将方程转化为g(x)=h(a)的形式,然后研究方程t=g(x)的零点得到t的取值范围后将该范围转化为a的取值范围.
下面给出一道练习题.
(2014年·天津·文14)已知函数f(x)={|x2+5x+4|,x⩽02|x−2|,x>0.若函数y=f(x)−a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围是_______.
答案 (1,2)
提示 如图.
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